農業行政 111 年統計學考古題

某研究擬測試三種品牌汽油的每加侖所能行駛之英哩數。由於不同廠牌 汽車的汽油性能特點不同，實驗選取4 個廠牌汽車作為區集；意即，每 個廠牌的汽車都用每種類型的汽油進行測試。實驗結果如下表：（以英 哩/加侖為單位） 汽油品牌 I II III 汽車 甲 18 21 27 乙 24 23 28 丙 20 25 30 丁 22 23 27 試計算並列出適合此實驗設計的變異數分析表（ANOVATable）。（20 分） 試寫出檢驗三種品牌汽油之每加侖英哩數差異的虛無假設與對立假 設，計算檢定統計量，並說明在5%之顯著水準下，三種品牌汽油之每 加侖英哩數是否有顯著差異。（10 分）

假設隨機變數X 的動差生成函數為ܯ(ݐ) = ଵ ଼+ ଵ ଶ݁௧+ ଵ ସ݁ଶ௧+ ଵ ଼݁ସ௧。令 ܺଵ, ܺଶ, . . . , ܺଵ଴為服從此機率分配之獨立樣本，而ܺ為其樣本平均。 試求X 之機率分配。（5 分） 試估計ܲ൫ܺ≥2൯。（10 分）

假設ܺ௜為解釋變數、ܻ௜為反應變數，且 1,2,..., i n  。為了描述兩變數之關 聯性，擬建立簡單線性迴歸模型：ܻ௜= ߚ଴+ ߚଵܺ௜+ ߝ௜，其中ߝଵ, … , ߝ௡為獨 立且相同 2 (0, ) N  分佈之誤差。請利用下方訊息回答問題： 1 1 1 , , , , 14 630 520 20940 n n n i i i i i i i n X Y X Y           2 2 1 1 , 30300 22482 n n i i i i X Y       。 試計算並寫出最小平方估計方程式。（10 分） 試計算並解釋判定係數（Coefficient of Determination; R2）及樣本相關 係數（Sample Correlation Coefficient）。（10 分） 試計算並解釋當 45 X  時，Y 的期望值之95%信賴區間。（10 分） （參考值：0.025,12 0.05,12 0.025,13 0.05,13 2.179, 1.782, 2.160, 1.771 t t t t     0.025,14 0.05,14 2.145, 1.761 t t   ） 32280

假設父親與兒子的身高服從二元常態分配，其中父親的身高（公分）服 從期望值為170、標準差為10 的常態分配，兒子的身高（公分）服從期 望值為170、變異數為10 的常態分配，而二者之相關係數為0.6。考慮 父親身高為175 公分的這群人，試問他們兒子的平均身高為何？其中超 過175 公分之比例為何？（15 分）

定義X 及Y 為獨立的標準常態分布隨機變數，令U X / Y  及V Y  。試 計算U 和V 之機率密度函數，並說明U 和V 分別為何分布。（20 分）

假設W 鎮每個月竊盜案件數是互相獨立的。令ߤ代表平均每個月的竊 盜案件數、ܺ代表過去36 個月的竊盜案件數的樣本平均。W 鎮警官打 算以{ܺ> 20.64} 做為檢定ܪ଴：ߤ= 20 ݒݏ. ܪଵ：ߤ> 20的拒絕域。假設 這36 個月的竊盜案件數之樣本平均數為21、樣本標準差為3。 試求該檢定之型一錯誤（Type I error probability）為多少？（10 分） 試求在ߤ= 21.28 時之型二錯誤（Type II error probability）為多少？ （10 分） 承子題，若樣本數提高為50，而拒絕域不變，試問型二錯誤將增加 或降低？（5 分） 33180

定義母群體平均值為μ，欲進行假設檢定問題： 0 H （虛無假設） 10 a H  ： ； （對立假設） 10  ： 。 已知母群體標準差為6，樣本數是36。在95%的信心水準之下，當真實 的母群體平均值為10.68 時，試計算並說明進行此檢定最合適的檢定統 計量之檢定力（Power）是多少？（20 分） 32280 附表一、標準常態分布表(左尾機率)，例如：P(Z ≤1.96) = 0.975 32280 附表二、F分布表(右尾機率)，例如：P(Fଵ,ଶ> 8.53) = 0.10

甲公司提出節能方案以減少其辦公大樓之冷氣耗電量，該節能方案實施 一年後，記錄實施前後每月冷氣耗電量（1000 瓩）如下表： 1 2 3 4

9 10 11 12 實施前5.8 6.1 5.4 6.8 8.5 9.6 7.4 6.2 5.6 4.8 4.5 3.6 實施後5.2 4.8 5.6 6.5 7.8 8.5 6.5 5.5 5.0 3.5 4.0 3.2 在0.05 顯著水準下，試檢定該節能方案是否減少冷氣耗電量。（10 分） 假設1-3 月為春季、4-6 月為夏季、7-9 月為秋季、10-12 月為冬季，將 資料依季節整理如下表。令顯著水準為0.05，在考量實施前後可能有 差異的情況下，試檢定春夏秋冬的冷氣耗電量是否相同。（15 分） 春 夏 秋 冬 實施前17.3 24.9 19.2 12.9 實施後15.6 22.8 17.0 10.7 五、甲市鎮過去6 年之人口數（千人）如下：（每小題10 分，共20 分） 2016 2017 2018 2019 2020 2021 520 580 560 650 780 800 試用三期移動平均法預測2019 至2022 年之人口數，並計算平均絕對 誤差（Mean Absolute Deviation）。 試以平滑係數為0.8 之簡單指數平滑法，預測2017 至2022 年之人口 數，並計算平均絕對誤差。