電子工程 112 年電磁學與電磁波考古題

半徑為ܴ的圓球之球心置於原點，其內外部電荷皆為零，僅r = R有一薄 層表面電荷，其密度ߩ௦（coul/mଶ）為一常數。 推導在r ＜R處的電場表達式。（10 分） 推導在r ＞R處的電場表達式。（10 分）

半徑為ܴ的無限長圓柱導線軸心沿z軸擺放，其外部電流為零，內部電流 均勻分布，密度為ܬ̅(ݎ) = ݖ̂ܬ଴（amp/mଶ），ܬ଴為一常數。 推導在r ＜R處的磁場表達式。（10 分） 推導在r ＞R處的磁場表達式。（10 分）

xݕ平面下方（ݖ< 0）為真空，介電係數及導磁係數為（߳଴, ߤ଴）。xݕ平 面上方（ݖ> 0）為理想導體（ߪ→∞）。一平面波自下方入射，其電場表 達式為ܧത௜= ݕොܧ଴݁ି௝௞ೣ௫ି௝௞೥௭。 推導反射波的電場表達式。（5 分） 推導入射波及反射波的磁場表達式。（10 分） 推導在ݖ= 0的表面電流分布。（5 分） 推導在ݖ< 0的複數波印亭向量（complex Poynting vector）。（10 分）

將電流矩量為ݖ̂ܫ଴ℓ的赫茲偶極（Hertzian dipole）置於原點，其所產生的 遠場分別為ܪഥ(ݎ̅) = ߶෠௝௞ூబℓ ସగ௥݁ି௝௞௥sinߠ, ܧത(ݎ̅) = ߠ෠ߟ଴ ௝௞ூబℓ ସగ௥݁ି௝௞௥sinߠ，其中ݖ̂、 ߶෠和ߠ෠分別為ݖ方向、߶方向和ߠ方向的單位向量，ߟ଴= ඥߤ଴߳଴ ⁄ 。 推導複數波印亭（Poynting）向量ܲത表達式。（5 分） 計算總輻射功率的時間平均值〈ܲ௥௔ௗ〉。（10 分） 計算Hertzian dipole 的輻射電阻ܴ௥௔ௗ。（5 分） 推導Hertzian dipole 的輻射指向性（directivity）ܦ(ߠ, ߶)，表示為ߠ與߶ 方向的函數。（5 分） 計算輻射指向性的最大值ܦ୫ୟ୶。（5 分）