電子工程 105 年電磁學與電磁波考古題

馬克斯威爾方程式（Maxwell’s Equations）中之法拉第定律（Faraday’s Law）的積分 表示式（Integral Form）如下：∫ Φ − = ⋅ C m dt d d E lv v ，其中Ev 為電場強度（Electric Field Intensity Vector），lv d 為微量長度變化（Differential Length-Change Vector），C 為封閉 路徑（Closed Contour）， m Φ 為垂直交鏈封閉路徑(C )所封閉之開面（S：Open Surface） 的磁通量（Magnetic Flux），t 為時間。請用法拉第定律詳細推導證明：靜電位 （Electrostatic Potential） ∫ ⋅ − =

1 21 P P d E V lv v (V)與起迄兩端點（End Points：1P 及 2 P ）中 間之路徑選擇無關（Path-Independent），只與起迄兩端點之選擇有關。（10 分） 二、有一勻質介質媒介（Homogeneous Dielectric Medium），介質之絕對介電常數（Absolute Permittivity）為ε ，其內體積電荷密度（Volume Charge Density）為ρ。於直流（D.C.） 及穩態響應（Steady-State Response）條件下，請詳細推導證明靜電位（Electrostatic Potential, V ）滿足以下之Poisson’s Equation： ε ρ − = ∇V 2 。（10 分）

馬克斯威爾方程式（Maxwell’s Equations）中之磁通不滅定律（Law of Conservation of Magnetic Flux）的微分表示式（Differential Form）為 0 = ⋅ ∇Bv ，Bv為磁通密度（Magnetic Flux Density）， A B v v × ∇ = ，Av 為向量磁位（Vector Magnetic Potential）；於靜磁 （Magnetostatic）條件下，安培電路定律（Ampère’s Circuital Law）的微分表示式為 J H v v = × ∇ ，Hv 為磁場強度（Magnetic Field Intensity）， H B v v μ = ，μ為勻質導磁媒介 （Homogeneous Magnetic Medium）之絕對導磁常數（Absolute Permeability），Jv 為於 導磁媒介內流動之體積電流密度（Volume Current Density）。於選取Coulomb Condition ： 0 = ⋅ ∇Av 之條件下，請詳細推導證明Vector Poisson’s Equation ： J A v v μ − = ∇2 。（20 分）

有一實際變壓器（Real Transformer）之一次側（Primary Winding）與二次側（Secondary Winding）的小信號交流電感（Small-Signal A.C. Inductances）如下：1L 為二次側開路 （Open-Circuited）時一次側所量測到之自感（Self-Inductance）， 2 L 為一次側開路時 二次側所量測到之自感， SC L ,1 為二次側短路（Short-Circuited）時一次側所量測到之 電感。 2 1L L k M = 代表一二次側間之互感（Mutual Inductance），其中k 為一二次側 間之磁通耦合係數（Coupling Coefficient of Magnetic Flux）。請根據量測到之 1L ， 2 L ， SC L ,1 詳細推導k 之數學表示式。（10 分） 105年專門職業及技術人員高等考試建築師、 技師、第二次食品技師考試暨普通 考試不動產經紀人、記帳士考試試題 等 別： 高等考試 類 科： 電子工程技師 科 目： 電磁學與電磁波

當一單頻弦波平面電磁波（Time-Harmonic Plane Electromagnetic Wave）於一無源勻 質良導體（Source-Free, Homogeneous, Good Conductor）中傳播，導體之絕對介電常 數（Absolute Permittivity）為ε ，絕對導磁常數（Absolute Permeability）為μ，導電 係數（Conductivity）為σ ，單頻弦波平面電磁波之時間角速度（Angular Velocity）為 ω，而且 1 >> ωε σ ；電波傳播常數（Propagation Constant）為 c jk j = + = β α γ ，α 為衰 減常數（Attenuation Constant），β 為相位常數（Phase Constant）， c ck με ω = ， ) 1( ωε σ ε ω σ ε ε j j c + = + = 。請詳細推導證明此導體之集膚深度（Skin Depth, δ ）為 ωμσ α δ 2 1 = = (m)。（10 分）

有一有損耗之傳輸線（Lossy Transmission Line），其終端負載阻抗為 L Z ，傳輸線特徵 阻抗（Characteristic Impedance）為 0 Z ，傳播常數（Propagation Constant）為 β α γ j + = ， α 為衰減常數（Attenuation Constant）， λ π β 2 = 為相位常數（Phase Constant），λ 為波 長（Wavelength），實體長度（Physical Length）為l，從負載端經由傳輸線實體長度l 後所見之輸入阻抗為 ) (l in Z 。 ㈠請問輸入阻抗 ) (l in Z 之數學表示式為何？（10 分） ㈡當負載為短路（Short Circuit）時，所量到輸入阻抗 sc in in Z Z , ) ( = l ；當負載為開路（Open Circuit）時，所量到輸入阻抗 oc in in Z Z , ) ( = l ；請詳細推導證明傳輸線之特徵阻抗 oc in sc in Z Z Z , , 0 = (Ω )，（5 分）傳播常數 oc in sc in Z Z j , , 1 tanh 1 − = + = l β α γ ( 1 m−)。（5 分）

電磁波波導（Waveguide）內可以存在不同的傳播模態（Propagating Modes），每一傳 播模態均有一截止頻率（Cutoff Frequency），請問此截止頻率之物理意義（Physical Meaning）為何？（10 分）

天線指向性（Antenna Directivity）與天線增益（Antenna Gain）之關係為何？（10 分）