電子工程 105 年電磁學考古題

自由空間中有一個點電荷q0 位在座標系統的原點，且在其周遭建立了靜電場，有另 外一個點電荷qt 位在點P1 處（在z 軸上），當qt 從點P1 移動到點P2（在y 軸上）， 請考慮沿著下列的不同路徑，分別計算電荷q0 的電力對qt 所作的功∫ ⋅

1 dl F P P ，其中庫 倫力 2 0 0 ˆ 4 F R R πε q q t = ，而圖中的內圈半徑為r1，外圈半徑為r2： ㈠沿著路徑C1（P1 到P2 的實線）。（6 分） ㈡沿著路徑C2（P1 到P2 的虛線）。（6 分） ㈢沿著任意路徑C3（P1 到P2 的點線）。（7 分） ㈣從㈠～㈢的結果，你得到什麼結論？（6 分） [提示]：首先，寫出球座標下的dl，……。 （請接第二頁） z x y C3 P1 qt q0 y P2 P2 C1 z x P1 C2 r2 r1 105年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員 考試及105年特種考試交通事業鐵路人員考試試題 全三頁 第二頁 考試別： 鐵路人員考試 等 別： 高員三級考試 類科別： 電子工程 科 目： 電磁學 二、針對下列的電學系統，一個直流電源V12 連接到一塊導電性均勻材料，兩端塗以金屬 極板（1 和2），且材料的橫截面積為A、長度為L，又其導電率為σ ；已知自由電 子會因電場的存在而受力移動，且假設材料內的電場E 是均勻的： ㈠請由 E J σ = 開始，推導出電路學的歐姆定律 IR V = 12 ，其中J 是電流密度。（12 分） ㈡計算其消耗的電功率，請問這些消耗的能量會轉傳給「誰」，並說明電能量被轉 變成何種形式的能量？（6 分） ㈢請解釋 E J σ = 的意義，以及其背後的機制，並與下列的力學系統例子進行比較。 （7 分） 力學系統：在空氣中的雨滴向下墜落的過程中，雨滴會和空氣分子碰撞，將能量轉 傳給空氣分子，使得雨滴最後以等速度（稱為終端速度）落下。 [提示]： ∫ ⋅ = 2 1 12 dl E V 。

已知靜磁場滿足安培迴路定律如下： ∫ = ⋅ C I 0 dl B μ (3a) 其中C 是任意的封閉迴路（不論其形狀、大小與位置為何），I 是迴路C 所包圍的穩 定電流。 ㈠請進一步利用斯托克斯定理（Stokes' Theorem），以推導其對應的點形式安培定律如下： J B 0 μ = × ∇ (3b) 其中J 是電流密度。（11 分） ㈡接著，請證明在交流情況下，(3b)式違背下列的連續方程式 t∂ ∂ = ⋅ ∇ ρ J 其中ρ 是電荷密度；並據此，針對交流情況下，對(3b)式進行必要的修正。（14 分） [提示]： 0 ) F ( = × ∇ ⋅ ∇ 0 E ε ρ = ⋅ ∇ ds ) F ( dl F ⋅ × ∇ = ⋅ ∫ ∫ S C （請接第三頁） L A V12 1 2 E J + － σ 105年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員 考試及105年特種考試交通事業鐵路人員考試試題 全三頁 第三頁 考試別： 鐵路人員考試 等 別： 高員三級考試 類科別： 電子工程 科 目： 電磁學 （請接背面）

如圖4a 所示，對於一傳輸線中的電壓和電流，其定義一般用電場/磁場表示如下： ∫ ⋅ − = 2 1 dl E ) , ( t z v (4a) ∫ ⋅ = C t z i dl H ) , ( (4b) 且為了滿足傳輸線的電報者方程式，電壓v 及電流i 的解分別為 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − = − = + + ) / ( ) , ( ) / ( ) , ( p p u t z f I t z i u t z f V t z v 且 0 Z I V = + + （特性阻抗） 或 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ + = + = − − ) / ( ) , ( ) / ( ) , ( p p u t z f I t z i u t z f V t z v 且 0 Z I V − = − − ㈠如圖4b 所示， 0 = z 處為兩個不一樣的傳輸線的交界，設其特性阻抗Z01、Z02 給定， 且入射波 + V 為已知，求反射波幅度 − V 和透射波幅度 + 2 V 之值，以及其電壓反射係 數 + − V V 。（8 分） ㈡比較：對於在介電材料中傳播的一平面波之反射，如圖4c 所示，設 0 = z 處為兩個 半空間介電材料的交界，且其內稟阻抗（intrinsic impedance） 01 η 、 02 η 給定，當入 射波的幅度 + E 為已知，求反射波幅度 − E 和透射波幅度 + 2 E 之值，以及其電場反射 係數 + − E E 。（8 分） ㈢比較㈠和㈡結果表示式的相似處，並陳述其背後的理由。（4 分） ㈣比較㈠和㈡結果表示式的不同處，並陳述其背後的理由。（5 分） 圖4a 2 C i(z) Z0 E H 1 + － v(z) 圖4b 圖4c z=0 z=0 z z H E − V + V + 2 V Z01 Z02 介電材料2 介電材料1 + E − E η01 η02 + 2 E