電子工程 108 年電磁學考古題

如圖所示，將一個半徑為a 的金屬球置於一個半徑為b的金屬球（b a > ） 內部，兩球的球心重疊。假設內金屬球的電位為 0 V ，內金屬球上的總電 荷為Q，外金屬球的電位為0，兩金屬球之間填充介電係數為 1ε 的介電質。 ㈠推導兩金屬球間的電場分佈表示式。（5 分） ㈡推導兩金屬球間的電位分佈表示式。（5 分） ㈢將Q 表達為 0 V 、 1ε 、a 及b的函數。（5 分） ㈣推導外金屬球內側的電荷密度表示式。（5 分） ㈤推導兩金屬球間的電容表示式。（5 分）

一片厚度為h之磁性材料（導磁係數為 1 µ ）置於兩片平行金屬板之間， 兩片金屬板長度為 0 L 、寬度為 0 W ，並於 0 z L = 處以第三片金屬板相連。 兩片平行金屬板於 0 z = 處分別接到一直流電流源之兩端，電流源之電流 為 0I 。假定金屬板上的電流密度均勻，金屬板之間的磁場也均勻。 ㈠列出兩片平行金屬板內側的電流密度表示式。（6 分） ㈡列出金屬板之間的磁場表示式。（6 分） ㈢列出金屬板之間的總磁通量表示式。（6 分） ㈣推導此一金屬板包夾磁性材料結構的電感表示式。（7 分） 0 V 1ε a b 0 W h 0L 0I 1 µ z x y

如圖所示，一段長度為z ∆的傳輸線的等效電路，其單位長度的電容為 C 、單位長度的電感為L，電壓分佈為( , ) V z t 、電流分佈為( , ) I z t 。 ㈠請應用Kirchhoff 電壓定律及電流定律推導( , ) V z t 及( , ) I z t 的一階聯立 方程式。（10 分） ㈡求解上述聯立方程式推導出 ( , ) V z t 及( , ) I z t 各自滿足的二階波動方程 式。（10 分） ㈢列出( , ) V z t 的通解，並代入一階聯立方程式得出( , ) I z t 對應的表示式。 （5 分）

如圖所示，兩片平行金屬板構成一個導波管，兩片金屬板間填充介電係 數為 1ε 、導磁係數為 0 µ 的介電質。假設導波管內部的電場為 0 ( ) 0 = j t k z E yE e ω − 。 ㈠將電場代入Faraday’s law，推導出導波管內部的磁場表示式。（5 分） ㈡列出電場振幅與磁場振幅的比值。（5 分） ㈢列出兩片平行金屬板內側的電流密度表示式。（5 分） ㈣列出兩片平行金屬板內側的電荷密度表示式。（5 分） ㈤列出功率密度 * S E H = × 表示式。（5 分） L z ∆ C z ∆ z z z + ∆ z x y 0 1 ( , ) µ ε

在完美的介電性媒質內，有一電場 cos( ) x E t kz a ω = − E G G V/m，其中E 為 峰值，而k 為常數，若該介電性之介電係數為ε ，以及磁導率為μ ，求 該區域內之電通密度D G 、磁通密度B G 、磁場強度H G ，以及波印亭向量S G （Poynting vector）。（20 分）