電子工程 109 年電磁學考古題

已知向量磁位能（magnetic vector potential） ( ) A r 和電流密度（current density）( ) J r 之關係式為 3 0 ( ') ( )= ' 4 ' J r A r d r r r ，其中r為場位置，'r為源 位置， 0 為導磁係數（permeability），積分係對應於所有空間，且當 'r 時，( ) J r 較1 'r趨近於零，證明以下三小題。 ㈠ ( )=0 A r i 。（8分） ㈡ 3 0 3 ( ') ( ') ( )= ' 4 ' J r r r A r d r r r 。（6分） ㈢

0 ( )= ( ) A r J r 。（6分） 二、於真空中有一點帶正電荷 8 2 10 Q 庫倫及另一點帶負電荷 8 4 8 10 Q 庫倫，其距離為 100 d 公分。 ㈠畫出此兩點電荷於一直線上，並標示此直線上之電場為零位置，且予 以說明。（8分） ㈡計算此電場為零之位置。（12分）

於空氣中有一球形水滴，半徑為0.1 mm，帶有電荷，其承受電場100 V/m 之電力和反承受之重力相同。 ㈠計算水滴之電荷值。（10分） ㈡計算水滴電荷產生之電場值。（5分） ㈢已知空氣被打穿之電場為 6 V/m 3 10 ，此水滴是否承受此電荷？（5分）

以下係有關真空內之馬克士威方程組。 ㈠分別寫出以積分形式及微分形式之馬克士威方程式組，於其中各微分 形式方程式旁邊寫出對應之定律名稱。（8分） ㈡於㈠小題之微分形式馬克士威方程組中，可由其中兩項旋度（curl）相 關方程式及連續方程式，證明另兩項散度（divergence）相關方程式。 （8分） ㈢以穩態弦波及複數形式寫出於㈠小題之微分形式馬克士威方程組。 （4分）

於真空中內有兩個正弦平面波，沿正z 方向傳播，其入射電場以 1 ( , ) i E z t 及 2 ( , ) i E z t 表示，入射方向相同ˆ ik ，頻率及相位相同（即 1 2 1 2 , i i f f E E ），此兩個正弦平面波均為圓極化，但極化方向相反。 ㈠寫出各圓極化平面波之入射電場向量表示式，並畫出直角座標，標示 各入射電場向量、各極化方向及入射傳播方向ˆ ik 。（8分） ㈡寫出完整之入射電場向量表示式。（2分） ㈢若 1 2 ( , )= ( , ) i i E z t E z t 時，此完整之入射平面波極化為何？若 1 2 ( , ) ( , ) i i E z t E z t 時，此完整之入射平面波極化為何？（2分） ㈣當㈠小題之兩個圓極化平面波正向垂直入射一無限大金屬面，其導電 係數（conductivity）= ，寫出各圓極化平面波之反射電場 1 ( , ) r E z t 及 2 ( , ) r E z t 表示式，並於㈠小題之同一圖上畫出各反射電場向量，標示各 極化方向及反射傳播方向ˆ rk 。（4分） ㈤寫出完整之全部（含入射及反射）電場向量表示式，此為行進波或駐 波？（4分）