電子工程 93 年專業知識測驗(工程數學、電路學)考古題

假設 x y x dx dy − =

，且 3 )1( = y ，則 ? ) ( = x y x x

9 4 3 3 + 4 9 4 3 3 x x + 4 9 4 3 3 x x + x x 4 9 4 3 3 + 2 假設 y e x e dx dy x y y − = 2 ) 2 (sin ) (cos ，且 0 ) 3 ( = π y 的解為 x cos d c be aye e y y y + = + + − − ，則 = + b a ？ -1 0 1 2 3 承上題，c+d =？ -1 0 1 2 4 利用積分因子 b a y x ) x ( = µ （integrating factor）的方法，可以求出 0 ) 6 3 ( 9 2 2 2 = − + − dx dy x xy xy y 方程 式的解為： C y x y x = − 2 3 3 2 3 ，其中C 為任意常數。估計 = −b a 2 ？ -1 0 1 2

估計週期函數 ) (t f 的拉氏（Laplace）轉換？假設 ) (t f =1 當 1 0 < ≤t ，且 ) (t f = 0 當 2 1 < ≤t 。其中 ) 2 ( ) ( + = t f t f 。 s e 2 1 1 − − s e s − − 1 ) e (s s − + 1 1 ) 1( 1 2s e s − −

假設函數 2) 4 ( 1 ) ( − = s s s F 的逆（inverse）拉氏（Laplace）轉換為 t t cte be a 4 4 + + ，則 = + + c b a ？ 16 1 8 1 4 1 2 1

積分方程式 t e d t f t f t t sin 4 ) cos( ) ( 2 ) ( 0 + = − + − ∫ τ τ τ 的解為 t e ct bt a − + + ) ( 2 ，則a + b + c =？ 1 2 4

8 下列何者是矩陣A 的特徵值（eigenvalue）？其中 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 9 1 1 1 9 1 1 1 9 A 7 8 9 10 9 承上題，下列何者不是矩陣A 的特徵向量（eigenvectors）？ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− 0 1 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− 1 0 1 10 假設逆富氏（inverse Fourier）轉換式為 ) (t f ，i.e.， ) ( )} ( { 1 t f F = ℑ− ω ，估計 = + ℑ− ) 5 { 1 ω ω j e j ？（設u(t) 為unit step function） ) 1 ( 5 )1 ( − − − t e t u )1 ( 5 )1 ( − − t e t u )1 ( 5 )1 ( + + t e t u ) 1 ( 5 )1 ( + − + t e t u 11 假設矩陣 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 3 0 2 1 A ，則 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 729 728 6 y x A 。估計 = −y x ？ 1 -1 -1457 1457 3351 12 假設矩陣 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = d b c a A ，且矩陣A 的特徵值（eigenvalues）為：2 及3。對應的特徵向量（eigenvectors） 為： ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 1 及 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 1 。則 = + + + d c b a ？ 0 2 4 6 13 求點 ) 2,1,1( P 到 (0,1,0)，(1,1,3)，及(5,0,1) 形成的平面的最短距離為何？ 206 3 206 1 1 5 14 方程式 0 2 2 = + y dx y d λ ，則 0 ) 2 ( ) 0 ( = = π y y ，特徵值為λ ，則下列何者正確？ 0 = λ 2 = λ 3 = λ 4 = λ 15 利用Frobenius series ∑ ∞ = + = 0 ) ( n r n nx c x y 可以求出 0 ) 4 ( 5 2 2 2 = + + + y x dx dy x dx y d x 方程式的解，則由indicial equation 可以求出 = r ？ -2 -1 1 2 16 假設 x x f = ) ( ，當 π π ≤ ≤ − x 。則 ) (x f 的富氏（Fourier）級數展開式為： − + − + − ) 5 cos( 5 2 ) 4 cos( 2 1 ) 3 cos( 3 2 ) 2 cos( ) cos( 2 x x x x x ⋯ − + − + − ) 5 sin( 5 2 ) 4 cos( 2 1 ) 3 sin( 3 2 ) 2 cos( ) sin( 2 x x x x x ⋯ − + − + − ) 5 cos( 5 2 ) 4 sin( 2 1 ) 3 cos( 3 2 ) 2 sin( ) cos( 2 x x x x x ⋯ − + − + − ) 5 sin( 5 2 ) 4 sin( 2 1 ) 3 sin( 3 2 ) 2 sin( ) sin( 2 x x x x x ⋯ 17 估計 = ∫dz z C ？沿著曲線C，由 0 = z ，到 2 4 j z + = 。曲線C 的方程式為 jt t z + = 2 ？（z 是z 的共軛 複數） 8 10 j + 8 10 j − 3 8 10 j + 3 8 10 j − 18 承上題，估計 = ∫dz z C ？，曲線C 改為由 0 = z ，到 2 j z = ；然後再由 2 j z = ，到 2 4 j z + = ？（z 是z 的 共軛複數） 8 10 j + 8 10 j − 3 8 10 j + 3 8 10 j − 19 估計∫ ∞ ∞ − = + dx x x 2 4 2 sin ？ 4 2 − e π 0 π 2 j 2 π 20 假設 ) (t f 的富氏（Fourier）轉換式為 ) (ω F ，求 t t f cos ) ( 的富氏（Fourier）轉換為： 2 )1 ( − ω F 2 )1 ( + ω F 2 )1 ( )1 ( + − − ω ω F F 2 )1 ( )1 ( + + − ω ω F F 21 求 = + ∫ dz z z e C z )1 ( ？，C 為沿著 2 = z 反時針方向的圓： π 2 j π 4 j ) 1( 2 1 − −e j π ) 1( 2 1 − + e j π 3351 30V R 6Ω 8Ω 12Ω 4Ω ix 3kΩ 10kΩ vo 1V 2kΩ 22 方程式 y u x u ∂ ∂ = ∂ ∂ 4 ，且 y e y u 3 8 ) ,0 ( − = ，而方程式的解為 by ax ce y x u + = ) , ( ，則 = + c a ？ -4 0 5 8 23 矩陣A 可以被對角線化成為 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3 0 0 0 0 0 0 b a ，其中 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = 1 2 1 0 1 6 1 2 1 A ，則 = + b a ？ -5 -4 -3 -2 24 假設小明，小華，小英三人同時玩剪刀、石頭、布的猜拳遊戲，則第一次猜拳後就淘汰一人的機率 為： 27 1 9 1 6 1 3 1 25 假設六顆骰子同時擲出，則所有骰子的點數皆不一樣的機率為： 342 5 324 5 243 5 234 5 26 如圖所示之電路，節點電壓 bv 值為多少? 1V 2V 3V 4V 27 如圖所示，為使R 消耗最大功率，請計算R 值及其所消耗之最大功率pmax？ R=3.6Ω，pmax=1.25 W R=3.6Ω，pmax=2.5 W R=7.2Ω，pmax=1.25 W R=7.2Ω，pmax=2.5 W 28 如圖所示理想運算放大器電路， vo 之值為： -6V -5V -1.2V -0.6V 3351 5kΩ 3kΩ 4kΩ 1kΩ 2kΩ io vo 8V 10V 29 如圖所示之理想運算放大器電路，輸出電流 io 之值為： –3.4 mA –2.4 mA –1.4 mA –0.4 mA 30 如圖所示，假設t=0 時Vc(0)=15V，試求當t ≥0 時輸出電壓 vx 之值為： 18 e-2.5t V 9 e-2.5t V 18 e-5.0t V 9 e-5.0t V 31 如圖所示之RLC 串聯電路是： 過阻尼(overdamped)電路 欠阻尼(underdamped)電路 臨界阻尼(critically damped)電路 以上皆非 32 如圖所示電路，假設 v(t) =160 cos50t V，i(t) = -20 sin(50t-30o) A，則平均功率為： 800 W 1386 W 1600 W 2721 W ＋ v(t) － i(t) 3351 33 一理想微分電路如圖所示，設 vs(t) = Vm sinωt，且ω=1/RC。則下列何者為正確穩態解？ vo(t) = -Vm sinωt vo(t) = Vm sinωt vo(t) = -Vm cosωt vo(t) = Vm cosωt 34 如圖所示之Y-Y 接線的三相電路。設相電壓 Va = 110∠0o V rms，Vb = 110∠-120o V rms，Vc = 110∠120o V rms，負載阻抗 50 80 A B C Z Z Z j = = = + Ω，線電流IaA 值為多少？ 3.16∠-58o A rms 1.16∠-58o A rms 3.16∠-28o A rms 1.16∠-28o A rms 35 如圖所示Y-Δ接線的三相電路。設相電壓 Va = 220 3 ∠-30o V rms，Vb = 220 3 ∠-150o V rms，Vc = 220 3 ∠90o V rms。負載阻抗 Z1 = Z2 = Z3 = 10 Z∆= ∠-50o Ω，則相電流IAB 值為多少？ 22 3 ∠20o A rms 22∠20o A rms 22 3 ∠50o A rms 22∠50o A rms vo vs C R 3351 i2 i1 M L1 L2 V ZL I2 I1 jωM Z1 jωL1 jωL2 36 如圖所示，若 I1 之迴路方程式表示為 V= a11I1 + a12 I2，則下列何者正確？ a11= Z1+jωL1，a12= jωM a11= Z1-jωL1，a12= jωM a11= Z1+jωL1，a12= - jωM a11= Z1-jωL1，a12= - jωM 37 如圖所示，若 I2 之迴路方程式表示為 0= -j8 I1 + a22 I2，則下列何者正確？ a22= 5 + j10 a22= 5 - j10 a22= 5 + j18 a22= 5 - j18 38 如圖所示，若其中自電感 L1 = 18 mH，L2 = 32 mH，耦合係數為0.85，當 i1 = -6 A， i2 = 9 A，則該 耦合電感所儲存的總能量為多少？ 2721.6 mJ 1721.6 mJ 518.4 mJ 318.4 mJ 39 如圖所示RC 低通濾波器，其截止頻率(cutoff frequency)為 8 kHz，若 R = 10 kΩ，則C 值約為多少？ 0.99 nF 1.99 nF 2.99 nF 3.99 nF 5Ω 100∠0o V I2 I1 4-j3Ω j6Ω j2Ω j8Ω R C ＋ Vo(t) － ＋ Vi(t) － 3351 R1 L vi(t) vo(t) R2 40 如圖所示RL 高通濾波器，若 R = 5 kΩ，L = 3.5 mH，則其截止頻率(cutoff frequency) ωc 值約為多 少？ 1.43 Mrad/s 2.43 Mrad/s 3.43 Mrad/s 4.43 Mrad/s 41 如圖所示, 若 R1 = 100 Ω = R2，L = 2 mH，請問該電路之截止頻率(cutoff frequency) ωc 為： 10 krad/s 15 krad/s 20 krad/s 25 krad/s 42 假設有一微分方程式 0 , ≥ + = t Ri dt di L v ，其中L 與R 均為常數，且初值 0 (0) i I = ，以拉氏轉換(Laplace transform)該微分方程式，若I(s)及V(s)分別表示i 及v 之拉氏轉換，則下列何者正確? 0 ( ) ( ) V s LI I s R Ls − = + 0 ( ) ( ) V s LI I s R Ls + = + 0 ( ) ( ) V s RI I s R Ls + = + 0 ( ) ( ) V s RI I s R Ls − = + 43 若已知 0 ≥ t 時vc(t)之拉氏轉換為 2 5 3 60 36 ) ( 2 + + + = s s s s Vc ，則下列何者正確？ 2 /3 ( ) 36 24 t t cv t e e − − = − V 2 /3 ( ) 36 24 t t cv t e e − − = + V 2 ( ) 36 24 t t cv t e e − − = − V 2 ( ) 36 24 t t cv t e e − − = + V 44 有一電路的轉移函數(transfer function)表示為 2 5 ( ) 15 50 s H s s s − = + + 。則其脈衝響應(impulse response) 為何？ 10 5 (5 10 ) ( ) t t e e u t − − − 10 5 (5 10 ) ( ) t t e e u t − − + 5 10 (5 10 ) ( ) t t e e u t − − − 5 10 (5 10 ) ( ) t t e e u t − − + 45 有一週期函數如圖所示，設 ∑ ∑ ∞ = ∞ = + + = 1 1 0 0 0 ) sin( ) cos( ) ( n n n n t n b t n a a t f ω ω ，則下列何者正確? 0 1/ 2 a = ， 1 1/ b π = 0 1/ 2 a = ， 1 0 b = 0 1/ a π = ， 1 0 b = 0 1/ a π = ， 1 1/ 2 b = R L ＋ Vo(t) － ＋ Vi(t) － 3351 46 設 0 0 0 ( ) 3cos 4sin cos( ) n n f t n t n t A n t ω ω ω φ = + = + ，則下列何者正確？ n A = 6， nφ = 53.1o n A = 6， nφ = -53.1o n A = 5， nφ = 53.1o n A = 5， n φ = -53.1o 47 當一週期性的電壓 0 2 6sin t ω + 伏特加到1Ω的電阻上，則該電阻所消耗之功率應為多少？ 5W 8W 20W 22W 48 雙埠(two-port)的電阻參數定義可表示為 1 11 12 1 2 21 22 2 V Z Z I V Z Z I ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ；如圖所示之電路，其Z12 值應等 於： 32Ω 16Ω 8Ω 4Ω 49 雙埠(two-port)的混合(hybrid)參數定義可表示為 1 11 12 1 2 21 22 2 V h h I I h h V ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ；如圖所示之電路， h21 值應 等於： 2 2 3 R R R + 2 2 3 R R R − + 3 2 3 R R R + 3 2 3 R R R − + 50 如圖所示， 合成的雙埠(two-port)T 參數定義可表示為 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 2 2 2 2 1 1 I V T I V D C B A I V ，若圖中兩個雙 埠單元都相同，且個別的T 參數可表示為 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ Ω = = 2 3 2 b a T T ，則合成的B 值應等於： 4Ω 8Ω 12Ω 16Ω