電子工程 94 年專業知識測驗(工程數學、電路學)考古題

設 x e y y − = ′

， 4 )1( = y ，其解 1 ) ( − − + + = de c be a x y x ，求a +b+c +d =？ 4

1

0 2 直線 2 /)1 ( 3 /) 2 ( 1 + = + = − z y x 與平面 13 2 = − + z y x 的交點為（a, b, c），求a +b +c =？ 16 18 20 22 3 計算∫ = + + ) ( zdz xdy ydx c ？c 為螺旋線x =2 cost，y =2sint，z =t，0≤t 2 ≤ 2 2 1 2 2 2 3 2 2 4 擲2 個骰子（六面體），其點數和大於3 且不超過6 的機率為： 18 5 12 1 3 1 18 7 5 計算∫ = − − + c dy y x dx y x ] ) ( ) [( ？c 為 1 2 2 = + y x 的圓 − 2 − 2

設矩陣 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 1 2 1 0 1 6 1 2 1 A ，下列何者不為A 的特徵值（eigenvalue）？ -4 0 3 5

承上題，下列何者為矩陣A 的特徵向量？ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −2 3 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −13 6 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −1 3 1

設 xz e xyz z y x f + = ) , , ( ，求∇． = ∇) ( f ？ xz xz e z e x 2 2 + xz xz e x e y 2 2 + xz xz e y e z 2 2 + xz e xz yz xy ) ( + + 9 設F(ω)為f(t)的富氏（Fourier）轉換，求f(2t)的富氏（Fourier）轉換為： ) 2 ( ω F ) 2 (ω F ) 2 ( 2 ω F ) 2 ( 2 1 ω F 10 設 0 2 = + ∂ ∂ + ∂ ∂ u y u x u 且u(0, y) =sin y，其解為u(x, y) ) sin( ey dx ae cy bx + = + ，求a+b +c +d +e =？ -2 -3 0 2 11 求三點P1(1, 1, 1)，P2(2, 3, 4)及P3(3, 0, -1)所形成三角形面積： 10 2 3 平方單位 10 3 2 平方單位 10 5 2 平方單位 10 2 5 平方單位 12 設隨機變數（random variable）X，其值分別為0, 1；且機率P(X =0) 2 1 = ，P(X =1) 2 1 = ，求變異數 （variance） 2 =？ 2 1 3 1 4 1 6 1 o 3359 13 估計 = + + ∫ ∞ ∞ − dx x x ) 9 )( 1 ( 1 2 2 ？ i i 4 8 12 14 計算∫ − − − c dz i z i z z z ) 3 )( ( )1 ( ，c 為圓 2 1 | | = −i z ： - i - ) (1 i + - i 2 - ) (1 2 i + 15 設f(t) =cos t +sin2 t 的富氏（Fourier）級數為∑ − = 2 2 n jnt e Cn ，則： 2 1 1 = − C 2 1 1 − = C 1 2 − = − C 1 2 = C 16 f(t) = t t d t c t t b t a S sin sin cos cos )1 ( 1 2 2 1 + + + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − ，求a +b +c+d =？ -1 0 2 1 1 17 令 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 7 0 2 1 1 8 3 6 4 A ， ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 4 1 4 1 1 6 3 2 14 B ，求（AB）之行列值： +51600 −51600 +51800 −51800 18 2 2 2 2 2 ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ] ) ( [ − + − + − = + S c S b S a e e t t t ，求a+b +c =？ 2 3 4 5 19 積分方程式 τ τ − + = ∫ d t t y t t y t 0 2 ) sin( ) ( ) ( 的解為 4 3 2 ) ( dt ct bt at t y + + + = ，則 a +b +c +d =？ 12 11 12 13 12 15 12 17 20 設 2 2× ∈R A ，其特徵值為+1, -1，求A100 =？ 0 A I2×2 -A 21 設矩陣 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 5 9 2 3 3 6 1 4 2 A 之反矩陣 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − i h g f e d c b a A 1 ，求d +g =？ 5 1 5 2 5 3 5 4 22 設隨機變數X 均勻分布於(0, 10)，求機率 = < < ) 8 3 ( X P ？ 2 1 10 3 5 2 3 1 23 設過點(3, 5, 2)，(2, 3, 1)及(-1, -1, 4)的平面方程式 d cz by ax = + + ，求a +b +c +d=？ -2 2 5 -6 24 設 x e y y y 2 2 4 4 = + ′ − ′′ ， 2 ) 0 ( = y ， 5 ) 0 ( = ′y ，其通解 x x x e cx bxe ae x y 2 2 2 2 ) ( + + = ，求a +b +c =？ -2 0 2 4 25 設 ) 1( ) ( 2 2 s ln s F ω + = 的逆（inverse）拉氏（Laplace）轉換f(t)= ) cos ( )] ( [ 1 t c b t a s F ω + = − ，則a+b+c=？ 0 1 2 3 26 有一電阻R 其值為 Ω − = t R cos 5 10 ，t 為時間，則下列何者描述不正確？ R 為線性電阻 R 具有調變（Modulation）功能 R 為被動元件（Passive Element） R 之電壓及電流之關係為非線性 o 3359 27 如右圖電路所示，a, b 端點v, i 之關係應為： i v 5.2 25− = i v 3 10 − = i v 5 25− = i v 5 10 − = 28 一脈衝電壓 ) (t δ 加於一電阻（R）及電容（C）串聯之電路，R、C 皆為常數且電容無初始電壓，則電 容電壓變化式為： RC t e C − 1 RC t e RC − 1 RC t e − − 1 RC t e C R − − 29 有一電路是由電阻（R）、電感（L）及電容（C）串聯而成，RLC 皆為常數，若此電路為欠阻尼電 路（Under damped circuit），則其品質因數（Q）應為： 大於1 小於1 大於0.5 小於0.5 30 如圖所示之電路電壓源電流I1、電 流源之電壓V1 及總消耗功率各為： 6A，22V，280W 6A，16V，256W 4A，22V，280W 4A，16V，256W 31 如圖所示為直流穩態電路，電感電流 I1 及電容電壓Vc 應為： I1 =3A，Vc =35V I1 =-5A，Vc =15V I1 =5A，Vc =10V I1 =-3A，Vc =35V 32 承上題，電路總消耗功率及總儲存能量各為： 190W，612.5J 190W，617J 250W，612.5J 250W，617J 33 如圖所示各電容電壓初始值皆為1V，開關S1 先閉合，然後S2 閉合，則最後各電容電壓應為： V1 =V2 4 3 = V，V3 2 1 = V，V4 4 5 = V V1 =V2 3 2 = V，V3 3 1 = V，V4 1 = V V1 =V2 4 3 = V，V3 3 2 = V，V4 12 17 = V V1 =V2 3 2 = V，V3 3 2 = V，V4 3 4 = V 34 有一元件是由電阻（R）、電感（L）及電容（C）並聯而成，則該元件之阻抗值隨頻率之變化，在阻 抗平面上移動之軌跡為：（註：阻抗平面座標是以阻抗之實部Re(z)為水平軸，阻抗之虛部Im(z)為縱 軸，兩者分別稱為實軸與虛軸） 圓，圓心為（2 R ，0） 圓，圓心為（ 2 R − ，0） 直線，平行虛軸（Im(z)） 直線，平行實軸（Re(z)） I1 I2 I3 10V (dc) 2 3 3 2 -V1+ 10A(dc) + - 5V I2 I1 1H 5A 1F ＋Vc－ 5 5 5 I3 10V 20V V1 V4 V2 V1 V3 S1 S2 2F 1F 1F 2F 3359 35 如圖所示之電路a, b 端點之戴維寧（Thévenin）等效電路電壓及電阻分別為： 25V，40Ω 15V，40Ω 10V，30Ω 5V，30Ω 36 如圖所示之電路中電感電流及電容電壓初始值皆為0，則t≥0 時之v(t)及i(t)各為： V t sin 10 12 + ， A t cos 10 6 − 12V，6A V t cos 10 12 + ， A t sin 6 − 12V，0A 37 承上題，若電路達穩態後且當i(t)達最大值時切斷a、b 兩點間之連線，若切斷的時間為t0，則v(t)之 合理表示式為： ) ( cos 30 0 ) ( 0 t t ke t t − ω − − α − ， 50 = k ， 0 > α ， 0 > ω ) ( 0 2 1 0 )] ( [ 30 t t e t t k k − α − − + − ， 50 1 = k ， 0 > α ) ( 2 ) ( 1 0 0 30 t t b t t a e k e k − − − − ， 50 2 1 = +k k ， 0 < a ， 0 < b ] 1[ 30 ) ( 2 ) ( 1 0 0 t t b t t a e k e k − − + + ， 0 2 1 = +k k ， 0 < a ， 0 < b 38 如圖所示之電路電源皆為直流，開關S 閉合之前電路已達穩態，開關於t=0 閉合，則t≥0 時之電容 電壓V(t)為： ) 1( 14 5.0 t e− − ) 1( 7 t e− − t e− +7 7 t e 5.0 12 14 − + 39 如圖所示之電路總消耗功率為125W，則電流源電流值I 為： 5A 或-5A 8A 或-8A 10A 或-10A 12A 或-12A b a i 5i 50V 1A 10 5 3 1H 1F 10u(t) v(t) u(t) 為單位步級函數 2 i(t) 2 2 4 4A 1F i(t) S t=0 V(t) 10V (dc) ＋ － － ＋ 2 3 I(dc) 5V(dc) 10V(dc) a b 3359 40 一電路由電阻（R），電感（L）及電容（C）並聯而成，L =1H，R 及C 皆為常數，未加任何電源， 電感之電流為iL(t) t e t 4 sin 3 − = ， 0 ≥ t ，則電容初始電壓 ) ( 0 V 及電阻值為何？ V V 3 0 = ， Ω =3 R V V 4 0 = ， Ω = 6 25 R V V 5 0 = ， Ω =3 R V V 1 0 = ， Ω = 6 25 R 41 如圖所示之雙埠（Two-port）網路，若將端電壓V1 及V2 表示成電流I1 及I2 之函數，即 2 12 1 11 1 I Z I Z V + = ， 2 22 1 21 2 I Z I Z V + = ，則Z11、Z12、Z21 及Z22 各參數為： 2Ω，6Ω，1Ω，4Ω 2Ω，4Ω，1Ω，4Ω 2Ω，4Ω，4Ω，4Ω 2Ω，6Ω，6Ω，4Ω 42 承上題，若在輸入埠接一直流電壓源10V，即V1 =10V，而輸出埠接一電阻，若輸入埠電壓源供應80W ，則輸出端電阻功率為何？又若輸出埠電阻改變以獲得最大功率則此電阻值為何？ 8W，1Ω 4W，1Ω 2W，2Ω 1W，2Ω 43 有一線性非時變電路（Linear Time-invariant Circuit），初始狀態皆為0，僅有一脈衝電流源 A t) (δ 輸 入時，其輸出電壓為 V e t − 5 ， 0 ≥ t ，若輸入改為 A t cos 10 電流源時其輸出電壓為： V t )1 (cos 2 25 − V t 25 ) 45 cos( 2 25 − ° − V e t t − −25 cos 2 25 V e t t − − ° − 25 ) 45 cos( 2 25 44 如圖所示雙埠（Two-port）網路K 純由線性非時變（Linear Time-invariant）電阻構成，若cd 端點開路 （ 0 I2 = ） V 20 V = cd ， A 5.1 I1 = ，若cd 端點短路 A 1 I2 − = ，則1I 應為多少？又若cd 端點改接一個 20Ω之電阻，則1I 應為多少？ 4A，2A 2A，1A 2A，1.75A 4A，2.5A 45 承上題，若欲使 0 I1 = ，則cd 端應接一直流電壓源，使Vcd 為多少？此時I2 應為多少？ 80V，2A 80V，3A 60V，2A 60V，3A 2V 2 2 2 0.5I I2 I1 I V V2 V1 ＋ － ＋ － ＋ － 輸 入 埠 輸 出 埠 5 40V I1 I2 10 a b Vcd c d ＋ － 3359 46 如圖所示為具有理想變壓器的弦波穩態電路，其輸出電壓v0(t)為： V t 10 cos 2 20 V t ) 45 10 ( cos 2 20 ° + V t 10 cos 2 10 V t ) 45 10 ( cos 2 10 ° + 47 承上題，由電路a, b 端點所視的等效阻抗為： Ω 3 16 Ω + ) 16 16 ( 3 1 j Ω 40 Ω + 40 40 j 48 如圖所示開關S 於t 0 = 時打開，未打開前電路已達穩態且電感L 儲存能量為25J，則t 0 ≥時之電感電壓 V(t)及2Ω電阻之電流i(t)各為： 5e-2t V，5(1-e-2t ) A 5e-t V，5(1-e-t ) A 10e-2t V，2.5(1-e-2t ) A 10e-t V，2.5(1-e-t ) A 49 如圖所示之電路於穩態時所消耗的功率及電容電壓v(t)各為： 20W，(5+2 sin 10t) V 20W，(2 sin 10t) V 30W，(10+2 sin 10t) V 30W，(2 sin 10t) V 50 如圖所示判斷理想二極是否導通？電流I 之值為何？ 不導通，I =5A 不導通，I =1A 導通，I =1A 導通，I =0A 2 1 6 0.6H 0.8H 0.1H a b 18.75mF 理想變壓器 2：1 40cos10tV ＋ － － ＋ v0(t) 2 2 S t=0 i(t) 5A L ＋V(t)－ 10V ＋ － 5 5 0.1H 0.1F 10V (dc) v(t) 10cos 10t (V) ＋ － ＋ － 2 2 3 15V I 2I 5A 理想二極體