電子工程 91 年專業知識測驗(工程數學、電路學)考古題

常微分方程式 x y y y sin 3 = + ′ + ′′ 的通解(general solution)可以寫成 x B x A e C e C y x x cos sin

1 2 1 + + + = α α 的形式 ，其中 2 1,C C 可為任意常數，則 = + 2 2 2 1 α α ？ 5 7 9 11 2 承上題，A＋B＝？ 0 2 1

1 −

1 − 3 下列那一個函數其Laplace 轉換不存在？ t 1 t e100 t 2te 4 利用部分分式(Partial Fraction)法求 ) 2 3 /( 3 ) ( 2 3 s s s s F + + = 的Inverse Laplace 轉換，可得其解為如下形式 t t Ce Be A t f 2 ) ( − −+ + = ，其中B＝？ -3 -1 3 1

若A 是維度為 n m× 的矩陣，B 是維度為 p n× 的矩陣，其中m, n, p 都是很大的整數，且矩陣元素都不是零 。則計算矩陣乘積AB 至少需要作多少次純量乘法？ mnp 2 ) ( n p m + mp np mn + + 3 3 3 p n m + +

若矩陣 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − =

5 3 1 5 6 4 2 3 4 5 3 1 2 3 4 A 滿足 0 I A A A A 4 3 2 2 3 1 4 = + + + + a a a a ，其中I 為單位矩陣。則 = 1a ？ -2 0 2 4 7 定義 ) ( 2 1 cosh z z e e z − + = ，則其反函數 z 1 cosh− 可寫為： 1 sinh 2 − z ) 1 ln( 2 − + z z 1 ) (cosh − z 1 sinh 2 1 + − z

下列相關於矩陣A 的特徵值（eigenvalue）的描述，何者不正確？ 若A 是Hermitian 矩陣，則特徵值是實數 若A 的矩陣元素都是實數，則特徵值若是複數必成共軛對（complex conjugate）出現 若A 是unitary 矩陣，則特徵值的絕對值必為1 對應於不同特徵值的特徵向量必定彼此垂直（orthogonal） 9 z w ln = 是一個多值函數，滿足 z e w = ，則 i ln 不可能代表下列那個值？ 2 / 3π i − 2 / π i − 2 / π i 2 / 5π i 10 若z 是複數，下列那個複變函數在 0 = z 是解析(analytic)函數？ z z /) (sin z | | z z ln 11 計算 z z d c∫ ，其中路徑C 為兩線段，先從 i z = 1 到 2 2 − = z ，再從 2 z 到 i z − = 3 。則其值為： i π − i π 0 ∞ 12 考慮有兩個抽屜，均各裝有三個硬幣，其中一個裝的全部是金幣，另一個裝的則是兩個金幣一個銀幣。現 在從兩個抽屜隨機選一個抽屜，並從其中隨機選一個硬幣，則該硬幣是金幣的機率是： 2 1 3 2 5 3 6 5 13 函數 )1 ( 1 ) ( 2 + = ω ω F ，則∫ ∞ ∞ − dω ω F ) ( 之值為： 1 2 π π π 2 14 承上題， ) (ω F 的逆傅氏（Inverse Fourier）轉換為 ) (t f ，亦即 ∫ ∞ ∞ − = dω e ω F π t f t iω ) ( 2 1 ) ( ，其中 0 > t 。則 = ) (t f ？ )1 ( 1 2 + t t e− 2 1 t sin 2 t cos 15 分析傳輸線常用的Smith Chart 是一種線性分式轉換（linear factional transformation），它把z（正規化阻抗 ，normalized impedance）轉成w（反射係數，reflection coefficient），且z 平面上的0, i, i −分別映射到w 平 面的1 −, i, i −。它可以寫成 d) b)/(cz (az w + + = ，其中a/d＝？ 1 1 − i i − 16 承上題，此一轉換會將z 平面的右半平面（亦即 0 ) Re( > z 的區域）映射到w 平面的那個區域？ 上半平面 下半平面 單位圓內部 單位圓外部 17 利用Fourier Sine 級數將定義在 )1 , 0 ( 區間的函數 x x f = ) ( 展開，令展開的級數寫為 ∑ ∞ = = 1 sin ) ( n n x n a x f π ， 則 = 1 a ？ π 2 π 4 0 π 2 − 18 承上題，若取 2 3 = x 代入此展開級數中求其值，亦即 = ) 2 3 ( f ？ 2 1 − 2 1 2 3 2 19 承上題，求 之值： 1 2 1 3 2 4 3 20 將 用Taylor 級數對 1 = x 展開，可寫成 ∑ ∞ = − = 0 n )1 ( ) ( n n x a x f ，則 ) ( 1000 1 2 a a + 的整數部份是 下列何者的倍數？ 2 3 5 9 21 承上題，此展開式的收歛區間（interval of convergence）可寫為 b x a < < ，則 = + a b ？ 2 3 20 3 20 3 22 在聯立方程式 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − = + = + − = − + 3 z y z y x 2 3 z 2 y x β α 中，α , β 是常數，已知此聯立方程式有無窮多解，則 = α ？ 3 − 1 − 2 5 23 承上題， = β ？ 3 − 1 − 2 5 24 在三度空間中，由 )3 , 2 , 1( ， ) 4 , 5 , 3 ( ， ) 5 , 3 , 4 ( 三點所形成的三角形，其面積為： 5 2 2 3 5 2 3 3 2 4 25 通過上題這三點所形成平面的方程式可寫為 1 = + + cz by ax ，則 = + + c b a ？ 1 2 1 3 1 6 1 26 在右圖之理想運算放大器電路中，若 V 1 Va = ， V 2 Vb = ，則 o V 為： -6 V -4 V 4 V 6 V 27 如圖所示之電路，輸入等效電阻Req 為： 22.5Ω 45.5Ω 75.5Ω 86.5Ω 28 如圖所示之電路，應用KCL 於節點1，則下列計算式，何者正確？ 4 6 3 12 2 2 1 1 1 v v v v − + = − + 4 6 3 12 2 2 1 1 1 v v v v − + = − + 4 6 0 3 12 2 2 1 1 1 v v v v − + − = − + 4 6 0 3 12 2 1 2 1 1 v v v v − + − = − + 29 在如圖所示之電路中，電容儲存的初始能量為零，在 0 t = 的瞬間，將開關閉合，則 )t( cv 在 0 t ≥ 時為： V )t 4800 sin e 14 t 4800 cos e 48 48 ( t 1400 t 1400 − − − − V )t 4800 sin e 48 t 4800 cos e 14 48 ( t 1400 t 1400 − − − − V )t 1400 sin e 14 t 1400 cos e 48 48 ( t 4800 t 4800 − − − − V )t 1400 sin e 48 t 1400 cos e 14 48 ( t 4800 t 4800 − − − − （請接背面） Req 2Ω 15Ω 10Ω 10Ω 8Ω 20Ω 30Ω 40Ω vc 0.4 µ F ∑ ∞ =1 2 n n a ) 7 3 ( 1 ) ( + = x x f 12V v2 2A 6Ω 4Ω 8Ω 6Ω 1 2 3Ω v1 Ω Ω Ω 九十一年公務人員高等考試三級考試第一試試題 代號： 科 別： 電力工程、電子工程 全一張 （背面） 3326 3327 2Ω 10Ω 10Ω 30 如圖所示之RLC 串聯電路中，電感器的值為 H 2 = L 、電阻器的值為 Ω = 8 R 、電容器的值為 mF 25 = C ，假 設電容器的初始電壓為 V 48 ) 0 ( = + C v ，電感器的初始電流為 A 8 ) 0 ( = + Li ，則 )t(i 在t＞0+ 時為： A )t 2 sin 8 t 2 cos 10 ( e t 4 − − A )t 2 sin 10 t2 cos 8 ( e t 4 − − A )t 4 sin 8 t 4 cos 10 ( e t 2 − − A )t 4 sin 10 t4 cos 8 ( e t 2 − − 31 如圖所示為一理想變壓器電路，其中交流信號源為 V 0 24 VS ο ∠ = ，則電壓 2 V 為： ο 0 4∠ ο 0 16∠ ο 180 4∠ ο 180 16∠ 32 如圖所示理想變壓器電路中，交流信號源為 V 5000 cos 60 t v = ， 則信號源所供應之平均功率為： 90 W 120 W 150 W 180 W 33 如圖所示之電路，在 0 t ≥ 時， A e 24 t 3 − = ai ， A e 2 t 3 − = bi ，則 1v 為： V e 52 t 3 − − V e 44 t 3 − − V e 156 t 3 − − V e 132 t 3 − − 34 如圖所示之電路，由a、b 兩點看進去之等效電感值為： 15 H 16 H 17 H 18 H 35 某一電路的功率因數（power factor）為0.6 落後，則下列何者可以改善其功率因數？ 提高電壓 並接電感器 並接電阻器 並接電容器 36 在如圖所示之電路中，若欲得到線路最大的平均功率傳輸，則 L Z 為： Ω = 5000 ZL Ω + = 4000 j 3000 ZL Ω − = 4000 j 3000 ZL Ω − = 5000 j 3000 ZL 37 有一濾波器如圖所示，其轉移函數為 ，其中 Ω = = = k 1 2 1 R R R ， F 10µ = C ， mH 1 = L 。則半功率頻寬（half-power bandwidth）為： 1.5 M rad/s 3 M rad/s 15 M rad/s 30 M rad/s 38 若有一RLC 串聯共振電路之頻寬為500 Hz，共振頻率為5000 Hz，令 Ω =10 R ，則電容C 約為： F 192 .0 µ F 318 .0 µ F 576 .0 µ F 743 .0 µ 39 如圖所示為一線性、非時變、被動（linear, time-invariant, passive）電阻元件組成之電路， 外接一電源E，及負載 L R ，當電源 V 4 E = 時， L R 上之功率為20 W，當 V 8 E = 時， L R 之功率為80 W，今若電源 V 12 E = 時， L R 之功率為： 60 W 100 W 120 W 180 W 40 在如圖所示之電路中，電流I 為： 0 A 11 9 A 1 A 2 A 3000Ω j4000Ω 10 ° ∠0 V }ZL 10 F µ 90Ω v 1Ω 2Ω 3Ω ) ( V ) ( V ) ( 1 0 0 s s s H = a 線性、非時變、被動 電阻電路 b 1Ω 1Ω 1Ω 2 1 2 1 Ω Ω 41 在如圖所示之雙埠網路， ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ )s( I )s( I )s( Z )s( Z )s( Z )s( Z )s( V )s( V 2 1 22 21 12 11 2 1 ，則Z 參數 矩陣中之 )s( Z21 為： 1 s 1 1− s 1+ 1 s 2 + 42 若雙埠網路之傳輸參數（transmission parameters）定義為 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 2 2 1 1 I V D C B A I V ， ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = D C B A T ，則下圖所示 之雙埠網路其T 參數矩陣為： ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 11 8 4 3 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − 3 4 8 11 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − 3 4 8 11 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 3 8 4 11 43 有一電路如圖所示， 1 s 4 )s( Z 2 1 + = ， s 1 s )s( Z 2 2 + = ， 1 s s )s( Z 2 3 + = ， s 1 s )s( Z 2 4 + = ， 則下列何者為此電路之網路函數 )s( V )s( V 1 2 的零點（zero）？ 2 j ± j 1± j ± 2 j 1± 44 某三相Y 連接的電路，其線電流為75A，線電壓為4.5 kV，若所接之負載 功率因數為1.0，則跨於負載之相電壓為： 2.2 kV 2.6 kV 3.2 kV 3.4 kV 45 就平衡三相Y 接負載而言，下列何者正確？ 線電壓等於相電壓 線電流等於相電流 線電壓等於相電壓的 2 倍 線電流等於相電流的 3 倍 46 在如圖所示電路中，初始條件為 V 6 ) 0 ( 1 = + v 、 V 5 ) 0 ( 2 = + v ，信號源電流 為 A 20 )t( s = i ， 0 t ≥ ，則 )t( 2v 在 + > 0 t 時為： V e 4.0 e 4.0 5 t 2 t 12 − − + − V e 4.0 e 4.0 5 t 12 t 2 − − + − V e 2.1 e 2.0 5 t 12 t 2 − − + − V e 2.1 e 2.0 5 t 2 t 12 − − + − 47 一雙埠網路，若其導納參數[ ] ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − − = s 01 .0 01 .0 s 01 .0 s 01 .0 s 01 .0 Y ，而 [ ] ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ )s( V )s( V Y )s( I )s( I 2 1 2 1 ，則其阻抗參數中之 )s( Z11 為：（註： [ ] ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 2 1 22 21 12 11 2 1 2 1 I I Z Z Z Z I I Z V V ） 0.01s s 100 s 100 100 + s 01 .0 01 .0 1 + 48 在如圖所示之RC 電路中， )t( u )t( s = v （ )t( u 為單位步級函數） 。若 V 1 ) 0 ( o = − v ，則 0 t ≥ 時， )s( o V 為（s 為拉氏轉換之參數）： ) 5.0 s(s 5.0 + 1 s 2 2 ) 5.0 s(s 5.0 + + + 5.0 s 5.0 + 1 s 2 2 5.0 s 5.0 + + + 49 在如圖所示電路中，電流源供應各電阻共800 mW 的功率，則R 為： 333.3Ω 666.7Ω 888.9Ω 1111.1Ω 50 在如圖示電路中，已知 L R 上之電流 0 IL = ，則電源E 為： 2 V 4 V 8 V 12 V 6 1 4 1 Ω Ω 2Ω 10µ F 1Ω 4Ω 12Ω