電子工程 91 年電磁學考古題

一個電偶極之電荷為+q 及-q，兩電荷間之距離為d。求距離其中心點O 之距離為R 的一點P 之電位V。（20 分）

假設在自由空間中，唯有在xy 平面上存在 ) y ,x ( s ρ 的面電荷密度分布（即z＞0 或 z＜0 時， 0 = ρ ）。 下面四個z＞0 的電位分布V1、V2、V3 及V4，何者為可能的靜電位分布？為什麼？ 請說明理由。（10 分） V1(y,z)＝cosh z e) y ( − V2(y,z)＝cos z e) y ( − V3(y,z)＝cos(y)sin z

一個天線的輻射強度（radiation intensity）為U(θ,φ)＝50sin2θ cosφ; 0≤θ≤π , -π/2≤φ ≤π/2， 其他地方為零。求(a)其定向因子（directivity）及(b)當不考慮損耗而輸入電流為2 安 培時之天線輻射電阻（radiation resistance）？（20 分）

e) y ( − V4(y,z)＝sin(x)sin(y)cos(z) 試求此靜電位分布所對應的面電荷密度分布 ) y ,x ( s ρ 。（10 分） 二、向量磁位(magnetic vector potential)可以公式A＝π µ 4 0 ∫′ ′ V v d R J 計算出，其中J 為電流密 度，V′為電流所在區域，而R 為電流到觀察點的距離。假設磁通密度(magnetic flux density)為B。試利用B＝ A × ∇ 推導Biot-Savart 定律。（20 分）

一條無限長的同軸電纜之內導體半徑為a，其外導體的內徑為b，外徑為c。電流I 從內導體流入而從外導體流出，求各處的磁通量密度B。並畫出B 的大小對半徑r 之圖。（20 分）

試從下列Maxwell 方程式的積分形式 ∫∫ S Dϖ．a dϖ＝∫∫∫ρ V vdv （附圖一） 推導出對應於附圖二的邊界條件 nˆ ．( ) 2 1 D D ϖ ϖ − ＝ s ρ 其中 v ρ 為空間電荷密度， s ρ 為邊界上的表面電荷密度。（20 分） a dϖ

一個邊長10 公分的正方形導體環，以其一邊為軸，在一個磁通量密度B＝ay0.04 Tesla 之磁場內旋轉。角速度ω＝100π(rad/s)，此導體之電阻為R＝0.5Ω，開始旋轉 時，此環位於xz 平面上，忽略此環之自電感（self-inductance），求此環之感應電 流i。（20 分）

一往+z 方向傳播的平面波於z＝0 平面上之電場強度為 ) m / V )( t 10 cos( yˆ E 8π = ϖ 。其所在 的介質之介質參數為：＝ r o ， r ＝36 ， o ＝ ) m / F ( 10 36 1 9 − × π ，導磁係數為 ) m / H ( 10 4 7 o − × π = µ ，導電係數為10(S/m)。 試求其損耗正切(loss tangent)。（4 分） 試求此平面波之衰減常數(attenuation constant)、相位常數(phase constant)、本質阻抗 (intrinsic impedance)、波長、相位速度(phase velocity)及集膚深度(skin depth)。（12 分） 寫出在z＞0 區域內之瞬間磁場強度 )t,z ( Hϖ 。（4 分）

一平面中有一條無限長的直導線與一矩形導線迴路相互平行，兩者間的互感係數M 為 何？（20 分）

兩條無限長的傳輸線相互連接，一條特性阻抗為200Ω，另一條為50Ω。若200Ω之 傳輸線上有一電磁波向著連接點入射，那麼反射與穿透係數各為多少？有多少百分比 的功率可以通過連接點，傳播到50Ω之傳輸線上？設計一個傳輸線阻抗轉換器 (transmission-line impedance transformer)，使反射功率為零。在此匹配傳輸線段上的電 壓駐波比(VSWR)為多少？（20 分） dv 附圖一 附圖二