電子工程 91 年工程數學考古題

九十一年專門職業及技術人員 考試試題 代號： 01350 高等考試建築師、技師、不動產估價師、呼吸治療師、心理師暨普通考試不動產經紀人一、應用拉式轉換(Laplace Transformation)，求下列常微分方程式之特解(particularsolution)：（10 分）y˝+λy=h(t)，式中λ 為正常數，h(t)為一已知函數。 二、設IA2A)A(f 1001 I 1210 A362++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=，，。試用矩陣對角化(matrix diagonalization)求f(A)。（15 分） 三、設321pppϖϖϖ、、為三度空間之基向量，定義其倒基(Reciprocal Base)之基向量321pppϖϖϖ、、為jiji ppδ=⋅ϖϖ，式中jiδ 為Kronecker Delta，試證：（15 分）kjikjippppppϖϖϖϖϖϖ⋅××=式中之i, j, k 為1, 2, 3 之偶序排列(even permutation)，亦即(i, j, k)為(1, 2, 3)或(2, 3, 1)或(3, 1, 2)。 四、應用D’Alembert Method 解偏微分方程式之通解：（15 分）uxx+3uxy－4uyy=0五、設某一函數為y=a0+a1x1+a2x2，x1 及x2 為二自變數，設取樣資料有四組：yx1x 211020 1011 -12-1試求a0、a1、a2 之值，使y=a0+a1x1+a2x2 有最小的誤差。（15 分）六、求下列積分式之值：（15 分）∫∞+02 1dxxxsin（註：若取圓弧積分，則當半徑R→∞時，該部分積分值應詳細寫出演算過程。） 七、求積分值∫πθθ202dcosm（15 分）

令矩陣⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 212110 A（15 分）求A 的特徵值（eigen values）求A 的特徵值對應的特徵向量（eigen vectors）求An 與nlim An∞→二、解下列方程式之)t(y（10 分）∫=ττ−−=′t00)0(y,d)(y)tsin(1)t(y三、令∞<<∞−=π−x,e)x(f2x（15 分）求∫∞∞−dx)x(f求)x(f的傅氏轉換（Fourier transform）求∫∞∞−dx)x(fx 2四、求22z4ze)z(fπ+=在極點（poles）之殘值（residues）。 （10 分）乙、測驗題部分：（50 分） 代號： 1303 本科目測驗式試題為單一選擇題，請就各題選項中選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。共20題，每題2.5分，須用2Ｂ鉛筆在試卡1～20題劃記，於本試題上作答者，不予計分。1下列何者可做為微分方程式()0yxy2yx22=′+−的積分因子（integrating factor）？x12x1xx22下列何者為Bernoulli 方程式4y3xx3yy⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=+′之通解？cx1y2 +=cxx1y3 +=cxx1y33+=cxx1y23+=3下列何者為微分方程式0y5y4y=+′−′′之通解？[])x2sin(c)x2cos(ce21x2+[])xsin(c)xcos(ce21x2+−[])xsin(c)xcos(ce21x2−[])x2sin(c)xcos(ce21x2−−4下列何者為函數2)t(hsint之拉氏轉換（Laplace transform）？22)1s/(s−222)1s/(s−)1s/(s22−)1s/(s2 −5若某一函數f(t)之拉氏轉換（Laplace transform）為1s2s23s2+++，則下列何者為正確？31)0(f=+1)0(f=+31)0(f=′+1)0(f=′+6已知f(t)為週期函數，且其拉氏轉換為⎟⎠⎞⎜⎝⎛2ashtans1，試求f(t)之週期：a2a3a2a7欲使下列聯立方程式有不全為零的解（nontrivial solution），則k 值應為何？ 114227 115229 （請接背面）⎪⎩⎪⎨⎧=−+=+=−+0z2y5x0z4y0zy2kx九十一年公務人員高等考試三級考試第二試試題 代號：科 別： 電力工程、電子工程科 目： 工程數學全一張（背面） 326103 27108 下列何者可做為微分方程式)x2cos(y2y3y=+′+′′的特解（particular solution）？[])x2cos(2)x2sin(103+[])x2cos(3)x2sin(101−[])x2cos()x2sin( 3201 −[])x2cos(2)x2sin(203−9下列何者為Hermitian 矩陣？⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−+i267i5i43⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−+ii2i2i3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡i 213213 21i21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−7i31i 31410 下列函數何者為偏微分方程式0tu2txu3xu 22222 =∂∂+∂∂∂+∂∂之解？)tsin()xsin()tcos()xcos(−)tsin()xcos()tcos()xsin(+)t2sin()xcos()t2cos()xsin(−)tsin()x2cos()tcos()x2sin(−11)y,x(vi)y,x(u)z(f+=為解析函數，已知22y2yx2)y,x(u−+=，則)y,x(v為何？cxxy4+−cyxy4+−cx4xy+−cy4xy+−12已知)iz)(4z()5z)(iz()1z()z(f2−+−+−=，且c 為2z =逆時鐘逆轉之封閉路徑，試求dz)z(f)z(fi21c∫′π之值？ 212234 13下列何者為正確？)z1sin(1在z=0 處有一孤立奇點（isolated singular point）)z1sin(在z＝0 處有一簡單極點（simple pole）)zsin(1在z＝0 處有一簡單極點)zcos(1在z＝0 處有一孤立奇點14下列何者為函數3)iz()zcos(+在其極點（pole）之殘值（residue）？)lcosh(21−)lsinh(21−)lcos(21)lsin( 2115 試求∫∞+014xdx之值：2π22π2ππ216令)z(Arg,z=θ=γ，且假設複變函數),(vi),(u)z(fθγ+θγ=，在某複平面的區域中每點皆可解析，則在該區域中之點，下列何者為正確？γ∂∂γ−=θ∂∂vuθ∂∂γ=γ∂∂vuγ∂∂γ−=θ∂∂uvθ∂∂γ=γ∂∂uv17試求向量函數kˆty2iˆxyz)t,z,y,x(v2−=ϖ之旋度（curl）：kˆxzjˆyt4iˆxy−+kˆyt4jˆxyiˆxz−+−kˆxzjˆxyiˆyt4−+−kˆxzjˆyt4iˆxy−+−18下列恆等式，何者不正確？fggf)gf(∇+∇=∇fvvf)vf(∇⋅+⋅∇=⋅∇ϖϖϖvfvf)vf(ϖϖϖ×∇+×∇=×∇uvvu)vu(ϖϖϖϖϖϖ×∇⋅+×∇⋅=×⋅∇19試求複數級數n0n2)i3z()n()n2(−∑∞=！！之收斂半徑（radius of convergence）： 412112 20下面關於向量的恆等式，何者正確？)ab(c)cb(aϖϖϖϖϖϖ×⋅=×⋅b)ca(c)ba()cb(aϖϖϖϖϖϖϖϖϖ⋅−⋅=××)cb)(da()db)(ca()dc()ba(ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ⋅⋅−⋅⋅=×⋅×)bb)(aa()ba)(ba()ba()ba(ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ⋅⋅=⋅⋅−×⋅×