電子工程 92 年工程數學考古題

請解柯西－尤拉(Cauchy-Euler)方程式（10 分）)ln( 2222 xxydxdyxdxdyx=+−二、請以拉氏轉換(Laplace Transform)求解系統方程式（10 分）yxdtdx+−=xdtdy2=1)0(,0)0(==yx三、請求解力kzjyixFˆˆˆ222++=v沿著平面yz−= 2及球面zzyx 4222 =++相交形成的閉曲線C 所作的功，即求積分∫⋅crdFvv。（10 分） 四、請求解下列積分值（10 分）dxxx∫∞+022)1(3cos五、請以傅立葉級數(Fourier Series)展開下列函數（10 分）π20 ,)(2<<=xxxf乙、測驗題部分（50 分）： 代號： 1301 本科目測驗式試題為單一選擇題，請就各題選項中選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。共20題，每題2.5分，須用2Ｂ鉛筆在試卡1～20題劃記，於本試題上作答者，不予計分。1計算下列圍線積分值zdz1sinzIc4∫=其中積分圍線C 為一逆時針迴轉之單位圓1:=zC30/iπ40/iπ50/iπ60/iπ2計算下列積分值∫∞+=021xdxI4/π2/πππ23已知)(xg為一週期函數，週期 = 2，xxg2)(=,11≤≤−x，)()2(xgxg=+，若將此函數展開成傅立葉級數(FourierSeries)，即)(sin)cos()(10xnbxnaaxgnnnππ∑∞=++=，則試求na 為下列何者？πnn2)1(1+−πn)1(−)1)1((1+−nnπ0（請接第二頁）九十二年公務人員特種考試身心障礙人員考試試題代號： 31510 第二頁4試問下列偏微分方程之型態為何？0=+yyxxxuu,0>x橢圓(Elliptic)型拋物線(Parabolic)型雙曲線(Hyperbolic)型混合(Mixed)型5求下列矩陣之反矩陣A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−= 251410 123A=−1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−− 313113 549122 571A=−1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−− 313113 549122 571A=−1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−− 313113 549122 571A=−1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−− 313113 549122 5716 試問下列問題之解為何？0=−txxuuα,Lx <<0(,)0∞<< t1),0(utu=,2),(utLu=,)0(∞<< t)()0,(xfxu=,)0(Lx <<tLnnneLxnKLxuuutxu2)/( 1121 cos)(),(παπ−∞=∑+−+=tLnnneLxnKLxuuutxu2)/( 1121 sin)(),(παπ−∞=∑+−+=tLnnneLxnKLxuuutxu2)2/( 11212 cos2)(),(παπ−∞=∑+−+=tLnnneLxnKLxuuutxu2)2/( 11212 sin2)(),(παπ−∞=∑+−+=7試將下列二次式(Quadratic Form)簡化為正則形式(Canonical Form) 323121 232221 216224 42),(xxxxxxxxxxxf+−+++= 232221 ~3~~xxxf+−= 232221 ~10~2~4xxxf++= 232221 ~0~2~8xxxf++= 232221 ~0~3~7xxxf++=8有一空間曲面S 的參數表示式如下：υ+= ux,2υ−= uy,423υ+= uz試求曲面S 在0=u,1=υ處的切面(Tangent Plane)方程式544−=++zyx544=−−zyx544−=−−zyx544=++zyx9在4ℜ空間中有一組基底單位向量(Unit Basis)如下：)1,0 ,1 ,1(311−=e,)0 ,1,1,1(312−−=e,)1 ,1 ,0 ,1(313 =e,)1 ,1,1 ,0(314−=e試將向量)6 ,1 ,2,4(−=u以),(21 ee展開(Span)，求其最佳近似(Best Approximation))6 ,1 ,2,4(−=u5),2 ,3,4(−=u)4 ,5,9,1(31−−=u)1,0 ,1 ,1(34−−=u（請接第三頁）九十二年公務人員特種考試身心障礙人員考試試題代號： 31510 第三頁ae42ω−ae42ω−−10已知函數2)(1atetf−=之傅立葉轉換(Fourier Transform)為aea42ωπ−，其中a 為常數，則下列何者為函數2)(2attetf−=之傅立葉轉換？aea 4224 ωω−aeaai422ωπω−−11微分方程式124cos−=+′+′′xyxyy，且ay=)0(，by=′)0(，試求)0(y ′′′：ba65 +ab433+−ba +ba −212下列何者為函數)cos()(ttetft−=−,0≥t之拉氏轉換(Laplace Transform)？2)1(1+s 1122 +−sss1)1(1)1(122+++−+sss 21122 +−+sss13下列何者可作為方程式)2sin()tan(xxyy=+′之積分因子(Integration factor)？sin(x)sec(x)cos(x)tan(x)14已知°=15θ，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=θθθθcossinsincosA，則下列何者為6A ？⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 1001 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 0110 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡− 0110 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ 210023 15下列何者為0)31()21(223=+++++−dxyxydyxxy之通解，C 為常數？Cyxxyyx=−++2Cyxxyyx=−++23Cyx=−Cxyyx=+ 2316 已知函數xexyzzyx+=18),,(ϕ，試求)( ϕ∇×∇為下列何者？jeix rr+180ir2jr317下列何者為方程式xyyxyxln 2852 =+′−′′的特解(particular solution)？163)ln(41+x7)ln(2+x8)ln(3+x2)ln(4+−x18下列何者為xxxyy3cos22=−′之通解，其中C 為常數？Cxy++−=2sin32Cxxy+= 343223 sin3Cxxxy+=xCxysincos22+= 192042 3)(2++−=ssssF經拉氏反轉換(inverse Laplace transform)後，可得tbetaetftt4sin4cos)(22−−+=,0≥t，則ba + 之值為下列何者？ 317920 沿著曲線C:ktjtittrrrrr32)(++=，從0=t到1=t且kxjyzizyFrrrr)(2)(222−++−=之線積分∫⋅crdFrr之值為： 101013 51

01350 高等考試建築師、技師、不動產估價師暨普通考試不動產經紀人、地政士一、 令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=2,1,11,3,21,2,1A；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= 7147 b；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zyxx；試求出方程式bxA=⋅的一般解！（10 分） 二、對於如下的微分方程式：tetyDyyD 324423 +=+−；試求出其一般解！（10 分）在初期條件0=t時，2=y，3=Dy下，試求其解！（10 分） 三、求積分∫∞∞−+−+.)9)(4(232dxxxxx（10 分） 四、考慮週期= 6 的函數⎜⎜⎝⎛<<−<<−=；當；當129, 1096 ,4)(gttttt試求此函數g 的Fourier（富利葉）級數。（10 分） 五、假設有10 個獵人在一起，恰好見到有10 隻雁飛過，於是獵人們各自獨立地瞄準其中某一隻雁子射去，假設這些獵人每個人的射技是‘十射七中’；結果10 隻雁子只剩N 隻飛走；試定N 的期望值。（10 分）六、試求函數)1(1−zz於領域221<−< z上之Laurent 展開！（20 分） 七、沿著曲線10,),2sin(:≤≤=π=Γxxzxy；計算循線積分∫++Γ)(xydzzxdyyzdx（20 分）

一隨時間t呈弦波變化之函數( ) cos( ) v t A t ω φ = + ，其中A是振幅、ω 為角頻率、φ 是相位， 可以定義對應之相量(phasor)為複變數V ，則( ) Re{ exp( )} v t V j t ω = 。 求V 。(10 分) 設 1( ) v t 與 2( ) v t 之角頻率同為ω ，且其對應之相量為 1V 及 2 V 。求算二函數乘積對時間平 均值以 1V 及 2 V 表示之公式。(10 分)

對一場量 ( , , ) f x y z ，試證 ( , , ) f x y z = 常數之表面與 ( , , ) f x y z 之梯度正交。(10 分) 沿梯度之方向可得該場量之最大方向導數。(10 分)

求底下偏微分方程之二個一般解 2 2 2 2 0 u u z t ∂ ∂ − = ∂ ∂ 。(20 分)

令 2 ( ) 1/(3 2 1) f z z z = − −，z 為複變數。計算 ( ) C f z dz ∫ ，其中C 為 一半徑為ε (趨近於0)且以1 0 j + 為中心之圓，直接積分做答。(10 分) 2 jt z e = ， t π π − ≤≤。(10 分)