電子工程 110 年工程數學考古題

若多項式

j tF jf t edtj求函數51tf te的傅立葉轉換（Fourier transform）。（5 分）求函數5

設方陣 1 3 1 1 A        。計算 tA e ＝？（t R  ）（20 分）

xyxy +y+e的通解（general solution）。（15 分）二、求2z dz，其中

1( )21p xxx，22( )21pxxax，23( )p xxxb所拓展（span）的子空間維度為3，則（a, b）為何？ (A)1(2, )2 (B)( 1, 2) (C)4(1,)5 (D)5(0,)42某向量經過線性轉換（linear transformation）1

cos100tftt e的傅立葉轉換（Fourier transform）。（10 分）70450本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。1一座山距離海平面的高度可用z(x, y) = 3500-2x2-3y2 來表示，試求出在P(-3, 2)這點朝上坡最陡峭的方向？ (A)[12, 12] (B)[-12, -12] (C)[12, -12] (D)[-12, 12]2一平行六面體(parallelepiped)的三個不互相平行的邊緣向量分別是[2, 0, 3]、[0, 4, 1]、[5, 6, 0]，試求此一平行六面體的體積。 (A)144 (B)72 (C)36 (D)12

求解底下聯立方程式：（20 分） 1 1 2

ti t，0t 1。（10 分）三、一副標準52 張的撲克牌，隨意抽出3 張。求其為同花（3 張為同一花色）的機率。（5 分）四、5441211 12445A，求其行列式值（determinant）。（5 分）求特徵值（eigenvalues）與其對應的特徵向量（eigenvectors）。（10 分）求P，使1P AP為A 之對角化（diagonalized）矩陣。（5 分）本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。12 2實數矩陣Q 的特徵值為2、3。若定義矩陣跡（trace）為對角線元素相加，則Q 的跡（trace）為何值？ (A)5 (B)3 (C)2 (D)52令T 和S 為

31T之後，長度被放大r 倍，逆時針旋轉角度。r 和分別為何？ (A)3,r60° (B)1,r30° (C)2,r60° (D)2,r30°3矩陣101020201A，則5det()A為何？ (A)32 (B)0 (C)16 (D)32

考慮向量121u和013v。若u 可分解為12uu，其中1u 為u 在v 的投影(projection)，則2u 為何？ (A)11.50.5 (B)11.50.5 (C)00.51.5 (D)00.51.5

4sin2 y y y t    2 1 2 y y y   1(0) 2(0) 1 y y  。 ［提示］可利用題一的結果。也可獨立作答。 三、如下圖在平面上給定兩點 1 1 ( , ) x y 及 2 2 ( , ) x y 。計算第三點的座標 3 3 ( , ) x y ， 使得三點構成一個正三角形。（20 分）

R 映射至2R 的線性轉換（linear transformation），其中( , , )(,)T x y zxy zy，( , , )(,)S x y zxz xy。下列向量何者屬於TS的零空間（nullspace）？ (A)(6,2, 10) (B)(3,2, 5) (C)(3, 2,5) (D)( 6, 2, 10)3給定矩陣131502

矩陣111001001A，下列何者為其特徵向量（eigenvector）？ (A)111 (B)110 (C)111 (D)101

令矩陣101120220103A，則TA A 的秩數(rank)為何？ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

在空間中有一向量場 ( , , ) F x y z ＝ 2 2 ( , 0, ) z x y  。 計算面積分（surface integral） F ds M  。 其中M 表一圓柱： 2 2 1 x y  ，0 1 z  。（20 分）

41A，143

令zxiy，i 為單位虛數，則2ze的虛部為何？ (A)22 sin(2)xyexy (B)22 sin(2)xyexy (C)22 cos(2)xyexy (D)22 cos(2)xyexy

令矩陣1000211100993055X。下列何者不是X 的特徵值(eigenvalue)？ (A)1 (B)2 (C)-1 (D)-4

設線性變換T：V→V，體（Field）F R  （實數），Tf f   。向量空間 { | [0, ] V f f C L    且 (0) 0 ( ) f f L    }。求T 的固有值（eigenvalue） 及固有函數（eigenfunction）。（20 分） y (x3, y3) (x2, y2) (x1, y1) x 0 ⇀ ⇀ ⇀

7942

矩陣1210213Aab，其特徵多項式（characteristic polynomial）為3232c。則4abc為何？ (A)16 (B)7 (C)2.5 (D)2

下列函數何者可以執行線性轉換？ (A),,sinT x yxyxy (B), , , ,,, ,0,1T x y u v wuvw wu z (C),,,2,2 ,2T x yxy xyxyy xy (D), ,42 ,3 ,0,0T x y wyx yx

B，2621004882C。則矩陣1ABC的行列式值為何？ (A)6 (B)0.75 (C)0.25 (D)0.75|378204考慮如下所示之過度限制（over-determined）線性聯立方程式：x+y3x+2y1x+3y2x+4y

微分方程式cos( )1yx y，初始值( )yA。若( )y x 的級數解為0( )()nnny xax，則3a 為何？ (A)1 (B)16 (C)A (D)12A

令100010000A，則矩陣函數Ae 的像空間(image space)維度為何？ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

如果這個聯立方程式的最小平方誤差解（least-squared-error solution）為x=α, y=β，那麼在下列敘述之中，何者為正確？ (A)α > β (B)α2 > β (C)α+β > α∙β (D)3α+2β > 05考慮一個作用在2,,x y x y的線性轉換（linear transformation）T。已知T(1, 1)(3,2)、T(1,1)(1, 5)。若是S 表示T 的反轉換（inverse transformation），而且S(2, 7)(p,q)，那麼p+q與下列那一個數值最接近（也就是說差值的絕對值最小）？ (A)3 (B)4 (C)5 (D)66考慮如下所示之線性聯立方程式：12341234123412342x +0x +0x3x =10x +5x +αx +0x =71x +6x +2x +0x =130x +1x2x +3x =2若是已知此聯立方程式無解，那麼在下列有關於α 之敘述，何者正確？ (A)∞ < α ≤ 5 (B)5 < α ≤ 0 (C)0 < α ≤ 5 (D)5 < α < ∞7我們考慮一個矩陣：1302x1021，若已知此矩陣為不可逆（notinvertible），那麼請問x 的數值為何？ (A)3 (B)12 (C)2 3 (D)4

函數2( )xf xe，11x，其傅立葉級數（Fourier series）在1x 時收斂於A，在0x 時收斂於B ，在1x 時收斂於C 。則ABC為何？ (A)221ee (B)2212ee (C)222ee (D)221ee34170

考慮初始值問題2cos,11dyx yxydx。若01nnny xax為此微分方程式的級數解，則係數2a 為何值？ (A)-2 (B)-1 (C)0 (D)2270450

有一條三維空間中的曲線，曲線上的點的坐標(x,y,z)以參數式來表示為：x(t)=2sin(t)、y(t)=2cos(t)、z(t)=5t 。請問此曲線在(0,2,0)到π3,1,5 3這個區間內的長度與下列那一個數值最接近（也就是說差值的絕對值最小）？ (A)2 (B)4 (C)6 (D)8|37820

考慮定義於頂點為(0, 0) 、(3, 0) 、(2, 2) 的三角形的連續隨機變數X 和Y ，其機率密度函數（probability density function）為均勻分配（uniform distribution）。機率2,1rPXY為何？ (A)38 (B)34 (C)12 (D)45

李卡地方程式(Riccati equation)21163dyyydxxxx可利用下列何種公式轉換為以u 為未知數的線性微分方程式？ (A)13yu (B)13yu (C)15yu (D)15yu

如果iπ/3-iπ/4iπ3e+5e+2e =x+iyi=1，那麼下列有關於x、y 之敘述，何者正確？ (A)x∙y < 0 (B)x+y < 0 (C)x < y （x , y 分別代表x 與y 之絕對值） (D)xy < x+y

連續隨機變數X 和Y 的結合機率密度函數（joint probability density function ）為(),02, 03( , )0,otherwiseXYA xyxyfx y，則03y區間內的邊際（marginal）機率密度函數( )Yfy為何？ (A)1 (1 2 )12y (B)1 (22 )15y (C)2 (2)21y (D)2 (23 )39y

一微分方程式22264xxyyee的起始條件分別為01y及06y，其解為222xxxy xaebxeced，試問下列何者不正確？ (A)1a  (B)3b  (C)12c  (D)32d 

令i 為單位虛數，則sin()i的實部（real part）為何？ (A) (B)1 (C)1 (D)0

矩陣X = ൦12232548-1-3-2-50204൪的秩（rank）為何？ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

令cos1f ttt，其中t為脈衝函數(impulse function)，f t 的拉氏轉換(Laplacetransform)為何？ (A)se (B)se (C)se (D)0

若積分路徑C 為逆時鐘方向且滿足1z ，則複變函數積分22423(4174)Czzdzzzz之值為何？ (A)i (B)i (C)2 i (D)13 i

下列何者構成空間R3的基底？ (A)[1, 2, 0] 和[0, 1,-1] (B)[1, 1,-1]，[2, 3, 4]，[4, 1, -1] 和[0, 1, -1] (C)[1, 2, 2]，[-1, 2, 1] 和[0, 8, 0] (D)[1, 2, 2]，[-1, 2, 1] 和[0, 8, 6]

某函數cos 2sin 2ttf tAetBet，對應的拉氏轉換為225sF ssasb，,, ,A B a b 為實數。ab 為何值？ (A)5 (B)2 (C)1 (D)0.4

我們考慮複變函數2f(z)=z +1(z=x+iy) 沿著曲線Γ 作線積分（line integral），其中Γ 代表在複數平面上由2y=x 來描述的曲線；我們的積分範圍是從0+i0 到1+i1。我們用α+iβ 來代表這一個線積分的結果，此結果可以看成複數平面上的一個點。若是採用這個觀點，那麼α+iβ 與下列複數平面上的四個點之中的那一個最接近（也就是距離最小）？ (A)0+i0 (B)1+i1 (C)1+i0 (D)0+i1

已知一個3×3矩陣B的特徵值（eigenvalues）為0, 1, 2，請問這些已知資訊尚不足以決定下列那個值？ (A)B的秩（rank） (B)BTB 的特徵值 (C)BTB 的行列式值 (D)(B+I )-1 的特徵值

一微分方程式4yyf t，其中0for 043for4tf tt，其起始條件分別為01y及00y，其解為coscos44y tatb cd tH t，其中H(t)是Heaviside 或unit step函數，試問下列何者不正確？ (A)2a  (B)32b  (C)1c  (D)2d 

考慮如下所示之初始值問題（initial-value problem）：2yx y3xy0 ; (0)1, y (0)2y如果我們將解（solution）寫成冪級數（power series）型式：nnn=0y(x)=a x那麼，下列選項何者正確？（可以試著套用函數的泰勒級數展開表示法（Taylor-series expansion）。） (A)0a =2 (B)11a = 3 (C)23a = 2 (D)31a = 2

有一投影矩陣ܲ=A൫ATA൯-1AT，其中A為m×n 矩陣，其秩為n。請問下列何者錯誤？ (A)P T=P (B)P -1=P (C)P 2=P (D)P 123=P

一函數5311f tH tH t，其中H(t)是Heaviside 或unit step 函數，其傅立葉轉換(FourierTransform)為ωsinicaFedb，試問下列何者不正確？ (A)10a  (B)1b  (C)7c  (D)4d 

假設y(x)可以由下列微分方程來描述：2dy3x1=dx2y+5而且合乎初始條件：y(1)1。請問y(0)=？ (A)2或3或5 (B)2 (C)4或1 (D)3 或4|37820

下列何者是級數∑16n(z+i)4n∞n=0的收斂區域？ (A)|z+i|<12 (B)|z+i|<1 (C)|z+i|<2 (D)|z+i|<4

給定一複變函數(complex function)sinzif zz，則此函數在0z 的殘餘數(residue)為何？ (A)0 (B)1 (C)i (D)i

下列選項之中，何者屬於線性（linear）微分方程式？ (A)22y (t)+ty (t)+cos(t)y(t)=0 (B)ty (t)+2y (t)+ey(t)=sin(2t) (C)2y(t) y (t)+ty (t)+cos(t) y(t)=0 (D)ty (t)+2t y (t)+ey(t)= y(t)

微分方程式32( )yyyf t，初始值(0)(0)0yy。若( )y t 的拉式轉換（Laplace transform）為221( )(32)(2)Y ssss，則( )f t 為何？ (A)2tte (B)22tt e (C)2tte (D)22tt e

考慮複變函數22sin1zfzzz，若C 為逆時針方向繞圓周0.51zi的路徑。則線積分C f z dz為下列何值？ (A)2sinii (B)2sinii (C)2 i (D)2 i

給定微分方程式2(2)dyyttdt，初始值為(0)0y，( )t為脈衝函數（impulse function）。則( )y t 的拉氏轉換（Laplace transform）為何？ (A)222ses (B)221(2)sess (C)222(2)ssess (D)2222(2)ssess

積分方程式y(t)+ ∫(t-τ)y(τ)dτt0=1的解為何？ (A)y(t)= cos t (B)y(t)= sin t (C)y(t)= cos t + sin t (D)y(t)=et

找出複變函數級數02345nnnizii的收斂半徑。 (A)26 (B)262 (C)13 (D)13270450

考慮微分方程式56yyyx，初始值為(0)yA和(0)yB。若其解為23111236xxyeexC，則ABC為下列何值？ (A)2 (B)13 (C)1

欲以積分因子（integrating factor）求解微分方程式−ݕ݀ݔ+ ݔ݀ݕ= 0，請問下列何者不為合適的積分因子，因其無法將方程式化為正合（exact）形式？ (A)1 x2⁄ (B)1 xy⁄ (C)1 (x2+y2)⁄ (D)xy

設X 為一連續隨機變數，其機率密度函數(probability density function)為1,,2,0 ,xa afxaxa a。若X 的變異數(variance)為4，則ܽ值為何？ (A)2 3 (B)3 3 (C)4 (D)4 3

(D)13618有兩位桌球選手，根據以往的經驗，在每一局的比賽之中兩人的勝率比例為6 比4。如果他們進行一場五戰三勝的比賽（也就是搶先贏得三局的選手為整場比賽的勝利者），那麼請問這場比賽會剛好在打完第四局的時候分出勝負的機率為何？ (A)75625 (B)162625 (C)234625 (D)375625

一副撲克牌52 張牌中包含4 種花色（黑桃、方塊、紅心、梅花），每種花色13 張牌。每抽一張牌後即將所抽的牌放回去洗牌重抽，請問這樣抽三次牌其中包含至少兩張黑桃的機率有多少？ (A)5 16⁄ (B)27 64⁄ (C)9 64⁄ (D)5 32⁄

設X 為一具有常態分布(normal distribution)的連續隨機變數，其平均值(mean)為1，標準差(standarddeviation)為2。若將其標準化為平均值為0，標準差為1 的標準常態分布(standard normaldistribution)，對應的隨機變數為Z。則X 和Z 的關係式為何？ (A)2114ZX (B)112ZX (C)112ZX (D)1ZX

有兩個隨機變數X 與Y，我們以XYP(x,y)=Prob(X=x,Y=y) 來代表其合併機率函數（joint probabilityfunction），且其值如下所示：XYP(1,1)=0.07 、XYP(1,2)=0.09 、XYP(1,3)=0.12 、XYP(2,1)=0.25 、XYP(2,2)=0.07、XYP(2,3)=0.18、XYP(3,1)=0.06、XYP(3,2)=0.07、XYP(3,3)=0.09。請計算下列條件機率之值：Prob(Y=3 X=2)= ？ (A)0.25 (B)0.36 (C)0.60 (D)0.84

假設一輛公車到達一個車站的時間為均勻分布於區間(t1, t2)，而其平均值為14:00，標準差為√12分鐘。請問(t1, t2)的區間為何？ (A)(13:54,14:06) (B)(13:53,14:07) (C)(13:52,14:08) (D)(13:51,14:09)

將四個硬幣先後向上投擲後落地，會有十六種不同結果。定義一隨機變數X，X 等於每一個結果中硬幣人像朝上的個數，試問下列何者不正確？ (A)X=3 的機率，即30.25P X  (B)X=2 的機率，即20.375P X  (C)X 的平均值是2 (D)X 的變異數是1.5

設X 為一連續隨機變數（random variable），機率密度函數（probability density function）為常態分布（normal distribution），平均值為45，標準差為15。若欲將X 轉換為Y，其機率密度函數仍為常態分布，平均值為65，標準差為10。則X 與Y 的關係式為下列何者？ (A)1503YX (B)2353YX (C)2475YX (D)20YX