電子工程 109 年工程數學考古題

( , )exp,

1 x y y y x x        的通解（general solution），其中已知y x  為 該微分方程式的一個解。（15 分） 令y=

if0tH tt。（5分）三、若1 iiaib，求a 及b。（5分）四、讓ˆˆˆ3ijku及ˆˆˆ

2XYxyfx yx y，。定義兩個新的隨機變數R及如下：假設22RXY及1tan ()Y X，使得cosXR，且sinYR。請證明隨機變數R的機率密度函數為222( )exp02Rrrfrr，。（6分）二、假設z 為一複數，求所有的z 使得cos2z 。（4分）假設z 為一複數，計算

2 2 ( ) 0 x t t e dt     ，求y(2)為何值？提示：y 對x 微分可得一微分方程式， 且 2 0 1 2 t e dt      。（10 分） 求 2 ( 2) 4 13 s s s s    的反拉普拉斯轉換（inverse Laplace transform）。（10 分） 若ln(2 2 )i a ib    ，求a 及b（皆為實數）。（5 分） 讓 ˆ ˆ ˆ 4 xy zy    v i j k，求 C d v R  ，其中C 為由AB  及BD  組成的線，A=(0,1,0)； B=(2, 0, 1)；D=(3, 2, 1)。（10 分） 曲線C 的參數表示式為 2 x t  ； 2 1 2 y t  ； 2

ijkv，其中ˆi 、ˆj 及ˆk 為單位向量，則u向v投影的長度為何？（5分）五、x為一連續隨機變數，其密度函數f為( )xf xae，其中a為一常數，0x。求機率P(1 x 2)=？（5分）六、101012210A求A的行列式值（determinant）。（5分）求A所有特徵值（eigenvalues）及其對應之特徵向量（eigenvectors）。（10分）求A的零空間（null space）。（5分）本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。1下列何者為以(1,2,2), (0,1, 2),(1,4,1),(2,5,5)為頂點之平行四邊形的面積？144 (A) (B)144 (C)86 (D)8638120-383202設平面1 :22

2

z t  ，則從 1P=(0, 0, 3)到 2P =(1, 1 2 , 4)弧線長（arc length）為何？（10 分） 隨機變數X 其累積分布函數（cumulative distribution function）為 0, 0 , 0 1

Sxyz、平面2 : 2

2244Czzdzzz，其中積分路徑C 為圓24z 之順時針（clockwise）方向圓周（circle）。（4分）三、已知一RC 電路系統可由微分方程式（differential equation ）( )5 ( )=5 ( )d y ty tx tdt表示，其中x(t)為輸入，且y(t)為輸出。假設2( )(3/ 5)( )tx teu t，且初始條件（initial condition）(0 )2y，求y(t)。（8分）已知一訊號x(t)的單邊拉普拉斯轉換（unilateral Laplace transform）為：22221( )(2)ssX ses s請求該訊號x(t)的初值（initial value）及終值（final value）。（8分）34470四、求k 使得Axb，其中12313214261031111A，1234xxxxx，366kb；（7分）如小題，求矩陣A 的行列式值（determinant）。（3分）請求以下線性系統的解1123212331232233dxxxxdtdxxxxdtdxxxxdt，其中x1(0)=1，x2(0)=0及x3(0)=1/2。（10分）本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。1對稱矩陣ۯ = ൭102000204൱，其對角化矩陣（diagonal matrix）۲ = ۾ۯ۾ିଵ，其中۾ 是正交矩陣，求۲ =？ (A)൭00000000

( ) 3 1 , 1 2 4 2 1, 2 x x x F x x x x                 求機率P（1/2X3/2）及X的期望值？（15分） 定義一線性轉換若 2 3 : L R R  為   1 2 2 1 2 1 2 ( , ) L x x x x x x x    ，求此線 性轉換的矩陣表示式（使用標準基底（standard basis））。若輸入及輸出基 底分別為{ 1 2    , 3 1    }及{ 1 0 0      , 1 1 0      , 1 1 1      }，此線性轉換的矩陣表示式為 何？（15 分） 1 0 0 1 1 0 1 1 1 A           =  1 2 3 u u u ，請以u1 為基礎的Gram-Schmidt 正交化演算 法（Orthogonalization Process）找出其正交基底（Orthogonal basis）。（10 分）

47Sxyz，則平面1S 與平面2S 之最短距離為何？1/6 (A) (B)1 (C)2 (D)43設A為4×4的矩陣，若A的行列值det( )2A ，則det( 2 )A之值為何？4 (A) (B)−4 (C)32 (D)−324設矩陣102011320A之反矩陣1abcAdefghi，求a + e + i=？0 (A) (B)−1 (C)94 (D)94

൱ (B)൭100000005൱ (C)൭000020005൱ (D)൭100020005൱2矩陣ۯ和۰，令det ۯ = 6和det ۰ = 2，求det ۯ۰ି૚=？12 (A)

若轉換函式22:T RR可表示為( , )(2,34 )T x yxyxy，則其逆轉換1(5,6)T 為何？(14/5, (A)−3/5) (B)(16,39) (C)(1/16,1/39) (D)(39,16)

(B)3 (C)0 (D)3設܉為常數向量（constant vector），ܚ= ݔ࢏+ ݕ࢐+ ݖ࢑，∇=డడ௫࢏+డడ௬࢐+డడ௭࢑，下列何者錯誤？ (A)∇∙ܚ= 3 (B)∇∙(܉× ܚ) = 0 (C)∇× ܚ= 0 (D)∇× (܉× ܚ) = ܉4求∫2ݔݕ݀ݔ+ ݔଶ݀ݕ=(ଶ,ସ)(ଵ,ଵ)？10 (A)15 (B)20 (C)25 (D)5矩陣ۯ = ቀ100−1ቁ，求݁ۯ௧=？ (A)ቀ2݁௧00݁ି௧ቁ (B)ቀ݁௧002݁ି௧ቁ (C)ቀ݁௧00݁ି௧ቁ (D)ቀ2݁௧002݁ି௧ቁ344706下列矩陣何者的秩（rank）等於2。 (A)ቀ2−200 ቁ (B)ቌ1−23−6

令1320A，D為對角矩陣且1DX AX ，求方陣X： (A)1312 (B)11553255 (C)3121 (D)32551155

−145ቍ (C)ቀ31206240ቁ (D)ቌ213639−1−ଵଶ−ଷଶቍ7下列那一個是適合的積分因子（integrating factor ），乘上它以後，將使微分方程式(x+y)dx+xln(x)dy=0變成正合（exact）？ (A)x3 (B) (C)1x (D)21x

下列何者是1+i的四次方根？ (A)1/82cossin1616i (B)1/82cossin

微分方程式236

8i (C)1/42cossin44i (D)1/42cossin22i8在複數空間zxyi，化簡621ii：（其中f(z) 為對複數函數f(z)取共軛複數（complex conjugate）以及1i 。） (A)42i (B)42i (C)42i (D)42i

tyyyt e，其中(0)2,(0)6yy。以拉普拉斯轉換（Laplace transform）求解後得到2()2( )()dbscY ssa，則下列何者錯誤？ (A)a+b+c+d=15 (B)a+b+c−d=7 (C)a−b−c+d=−1 (D)−a+b−c+d=−39設݂(ݔ) = ܽ଴+ ∑(ܽ௡cos ݊ݔ+ ܾ௡sin ݊ݔ)ஶ௡ୀଵ為函數݂(ݔ) = ݔଷ，−ߨ< ݔ< ߨ之傅立葉級數（Fourierseries），其中ܽ଴, ܽ௡, ܾ௡為常數，下列何者正確？ (A)ܽ଴+ ܾ௡≠0 (B)ܽ଴+ ܽ௡≠0 (C)ܽ଴∙ܾ௡≠0 (D)ܽ଴≠0

求複數積分21zCie dzzi？（其中積分路徑C為15z 之逆時針方向圓周。） (A)2(cos1sin1)ei (B)2(cos1sin1)ei (C)(cos1sin1)ei (D)(cos1 sin1)e

設ݕ= ܿଵ݁௫+ܿଶ݁ିଶ௫+ܿଷݔ݁ିଶ௫為微分方程ݕᇱᇱᇱ+ ܽݕᇱᇱ+ ܾݕᇱ+ ܿݕ= 0的通解（general solution），其中ܽ, ܾ, ܿ, ܿଵ, ܿଶ, ܿଷ為常數，下列何者正確？ (A)ܽ= −1 (B)ܾ= −1 (C)ܿ= −1 (D)ܽ+ ܾ+ ܿ= −1

下列複數級數何者為發散？（其中1i 。） (A)0(1)2nnni (B)0(1)!nnin (C)012nni (D)201( 1)(1)nninn

求積分方程݂(ݐ) = cos ݐ+ ∫݁ିఛ݂(ݐ−߬)݀߬௧଴的解。 (A)1 −sin ݐ (B)1 + sin ݐ (C)cos ݐ−sin ݐ (D)cos ݐ+ sin ݐ

求解微分方程式221.250.8750d ydyydxdx： (A)0.51.7512xxyc ec e (B)0.51.7512xxyc ec e (C)3.50.2512xxyc ec e (D)3.50.2512xxyc ec e38120-38320

令連續隨機函數X 具有機率密度函數݂(ݔ) = ൜݇ݔଶ, 0 ≤ݔ≤10 , otherwise ，求其變異數（variance）ߪଶ。（其中k 為常數） (A)140 (B)340 (C)180 (D)38034470

22130xxyx yy為正合（exact），則=？ (A)−2 (B)−1 (C)0 (D)1

令連續二維隨機變數X 和Y 具有機率密度函數݂(ݔ, ݕ) = ൜݇ݔݕ, 0 ≤ݔ≤1 and 0 ≤ݕ≤10 ,otherwise，求其機率ܲ(ܺ> 0.25, ܻ> 0.5)。（其中k 為常數） (A)58 (B)916 (C)4564 (D)75128

求微分方程式(4)(3)(2)(1)47620yyyyy的通解：（其中( )nnnd yydx。） (A)231234xxxxc ec xec x ec x e (B)1234cossinxxxxc ec xec exc ex (C)1234cossinxxxxc ec xec exc ex (D)1234coshsinhxxc ec xecxcx

求複變函數積分∮ቀୡ୭ୱ୦௭(௭ିగ)య−ୱ୧୬మ௭(ଶ௭ିగ)యቁ݀ݖ஼，其中積分路徑ܥ為逆時鐘方向繞圓周|z| = 3。 (A)4 i (B)4 i (C)2 i (D)2 i

將Bessel equation2222()0x yxyk xvy（其中v、k為常數）化成Sturm-Liouville之形式為( )0ddyp xxq xydxdx，下列何者正確？ (A)2p xx (B)22xp xx (C)p xx (D)12p xx

求複變函數積分∮௓(௭ାଵ)(௭మାଵ) ݀ݖ஼，其中積分路徑ܥ為逆時鐘方向繞橢圓周16ݔଶ+ ݕଶ= 4。 (A)2ߨ݅ (B)−2ߨ݅ (C)ߨ݅ (D)−ߨ݅

利用拉氏轉換求20cos( )ttt edt？ (A)425 (B)325 (C)323 (D)225

複變函數݂(ݖ) = ݖଶସ−3ݖଶ଴+ 4ݖଵଶ−5ݖ଺，求݂ቀଵା௜√ଶቁ=？ (A)5݅ (B)4݅ (C)3݅ (D)2݅

下列何者為22( )4seY ss s之反拉普拉斯轉換（inverse Laplace transform）？（其中u(t)為單位步階函數（unit step function）。） (A)11( )sin 2(2)(2)44y ttu t (B)11( )sin 2(2)(2)44y ttu t (C)11( )cos2(2)(2)44y ttu t (D)11( )cos2(2)(2)44y ttu t

z 為一複數，若Γ 是平面中一個包含原點z=0之封閉路徑，∮ୡ୭ୱ(௭)௭݀ݖ୻=？0 (A) (B)−݅2ߨ (C)2ߨ (D)݅2ߨ

一週期函數2( )1 sin 2f xx，則其傅立葉級數（Fourier series）為： (A)13( )sin 422f xx (B)31( )sin 222f xx (C)31( )cos422f xx (D)13( )cos222f xx

曲線C 為平面上一個正向簡單封閉路徑，則2cos(2 )sin(2 )C xy dxxy dy=？4 (A)xsin(2y)2 (B)xsin(2y)0 (C) (D)221cos(2 )cos(2 )2 xyxy

若A、B是機率不為零且互為獨立的事件，則下列何者不一定成立？ (A)P AB =P A P B (B)P AB =P A P B (C)P A|B =P A|B (D)P AB =P A +P B

令一曲線C 為22,,, 01xtyt ztt，則2zC x dxyzdye dz=？ (A)112e  (B)112e  (C)1112e  (D)1112e 

設X為一連續隨機變數，其機率密度函數為24202( )0Cxxxf xelsewhere，則其C值為多少？1/2 (A) (B)1/4 (C)3/8 (D)5/8

下表所示為x 及y 機率質量函數（probability mass function, PMF），則X 與Y 之共變異數COV(X,Y )=？x1=1x1=0x1=−1y1=101/41/4y2=−11/41/40 (A)14 (B)12 (C)−11 (D)

假設一隨機變數X，其動量產生函數（moment-generating function）為2(2)( )ttXMte；試問此隨機變數X的期望值（mean）為何？0 (A) (B)0.5 (C)1 (D)2