電子工程 112 年工程數學考古題

sin ,(0)0,(0)0yyxxyy

1 1 ൱൩= ൭ 3 0

2 ,d ydyyydxdx（15 分）二、設0.90.10.20.8A。求解A的特徵值（eigenvalue）與對應的特徵向量（eigenvector）。（4 分）求解2A 的特徵值與對應的特徵向量。（4 分）解limnnAA。（7 分）三、請利用留數（residue）計算220 (1)dxx。（10 分）四、設X 與Y 的聯合機率密度函數（joint probability density function）是2()( , ), 0, 0= 0,00x yXYfx yexyxy或其中0。設ZXY。求Z 的期望值（mean）。（5 分）求Z 的累積分布函數（cumulative distribution function）。（5 分）34570本試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當答案。1考慮函數22( , , )2x y zx yyz，請決定梯度( , , )x y z在點(1, 1,2)之值為何？ (A)4i2 j8k (B)4i2j8k (C)4i2j8k (D)4i2 j8k2若i為內積運算，為外積運算，請計算(2ij) (i3jk) (3ik)i之值為何？ (A)4 (B)5 (C)6 (D)7

൱，ܶ൥൭ 1 2 1 ൱൩= ൭ 4 0 2 ൱， ܶ൥൭ 1 2

圍線積分22()c y dxxyxdy其中c 為由直線yx與拋物線2y x所圍成的封閉路徑，利用格林定理（Green’s theorem）將此積分化成面積分( , )Ru x y dxdyK，其中R 為封閉路徑c 所圍的區域，請問( , )u x y 與K 分別為何？ (A)( , )2u x yyx，120K  (B)( , )2u x yxy，140K  (C)( , )2u x yxy，120K  (D)( , )2u x yyx，140K 

൱൩= ൭

下列那一個向量不在矩陣1472

0 4 ൱，ܶቈቆ ݔ ݕ ݖ ቇ቉=？（20 分） 求解二階微分方程ݕᇱᇱ(ݐ) + 4ݕᇱ(ݐ) + 3ݕ(ݐ) = 3ߜ(ݐ−2), ݕ(0) = 0, ݕ′(0) = 0，其中ߜ(ݐ)為脈衝函數。（20 分） 利用史托克定理（Stokes' Theorem）計算封閉曲線積分∮(−ݕ࢏+ ݔ࢐− ௖ ݔݕݖ࢑) ∙݀ࡾ，R 為位置向量（position vector），C 為ݔଶ+ ݕଶ+ ݖଶ= 1, ݖ≥0 半球表面之邊界曲線。（20 分） 請計算複變積分∮(ݖଶ+ ଵ ௭మିଵ଺+ ௘ഏ೥ （௭మାସ）+ ݖଶ݁ భ ೥)݀ݖ之值 ௖ ，C 為複數平面 上|ݖ| = 3逆時鐘方向之圓。（20 分） X 和Y 為連續隨機變數，其聯合分布機率密度函數݂௑,௒(ݔ, ݕ) = ቊ 1/2 , 0 ≤ݕ≤ݔ≤2 0 , 其他，求條件期望值ܧ[ܺ|Y=y] =？（20 分）

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9A之列空間（row space）？ (A)3914 (B)222 (C)61524 (D)1235矩陣46A35經由對角化得120P AP01，下列何者是P 矩陣？ (A)21P11 (B)12P21 (C)22P21 (D)22P226假設矩陣124021033A，計算行列式值1det(3)det()3TcAA，?c  (A)18 (B)28 (C)244 (D)234

假設A 為n n矩陣，下列那一個敘述不等效（equivalent）於其他敘述？ (A)A 可被正交對角化（orthogonally diagonalizable） (B)A 為對稱（symmetric）矩陣 (C)可為A 找到或建構n個正交規範特徵向量（orthonormal eigenvectors） (D)A 的行列式值det1A 

下列子集合何者為3R 的子空間（subspace）？ (A)( , ,2 ) |,a b aba bR (B)2(0, ,) |a aaR (C)(1, ,0) |aaaR (D)( , ,1) |,a ba bR

定義1i ，複變數zxiy與其共軛複數zxiy。下列何者在整個複數平面皆為可解析（analytic）？ (A)( )f zz (B)( )(cossin )yf zexix (C)22( )2f zxyixy (D)( )(cossin )xf zeyiy34570

定義1i ，假設方程式210zzi的兩個解為1z 與2z 且12zz，則下列何者正確？ (A)121 2zzi (B)121 2zzi (C)11z  (D)22z 

32(5)()( )() (1)(4)z zzif zzizz，且c 為3z 逆時鐘轉之封閉路徑，請決定( )( )cfz dzf z之值為何？ (A)4 i (B)4 i (C)6 i (D)6 i

請利用複數積分決定2 3(1)dxx之值為何？ (A)32 (B)34 (C)36 (D)38

一階常微分方程式22332(AB)(2125)0x yy dxx yxydy為正合（exact），A、B 值為何？ (A)A2, B3 (B)A3, B3 (C)A3, B4 (D)A4, B3

給定微分方程22(4) dyyxdx，當初始值00(, ())xy x落在下列那一個xy 平面區間時，該微分方程可能不會有唯一解（unique solution）？ (A), 22xRy (B),2xR y (C),2xR y (D), 11xRy

已知週期為6 的函數( ), 33f xxx，展開成01( )cos 3nnn xf xaa，下列何者正確？ (A)126a (B)3223a (C)52825a (D)721249a

函數1if1( )0otherwisexf x之傅立葉轉換（Fourier transform）為下列何者？ (A)1sin2ww (B)sin2ww (C)1cos2ww (D)cos2ww

下列那個函數（t 為獨立變數）無拉氏轉換（Laplace transform）？ (A)t (B)1t (C)sintt (D)1t

假設X 為一離散隨機變數（discrete random variable），其值為2、1 與3 的機率分別為(2)0.4P X 、(1)0.5P X 與(3)0.1P X 。則期望值2[21]?EX  (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

某間製造公司專門生產發電機，在甲、乙、丙三地各有一間工廠，各工廠產量分別占總產量的40%(甲)、25%(乙)、35%(丙)，各工廠生產產品的不合格率分別為3%(甲)、2%(乙)、4%(丙)，則整間公司發電機產品的不合格率為？ (A)2.5% (B)3.2% (C)3% (D)3.1%

設X、Y 及Z 為三個隨機變數，且聯合機率密度函數為1 , 0, ,1( , , )0 ,x y zf x y z其他，請決定X3Y5Z的機率為何？ (A)140 (B)340 (C)540 (D)740