電子工程 112 年電磁學考古題

針對下圖的簡單傳輸線（長度為l ）電路，其中電壓源 cos( ) g o v V t   ， 內阻為 o R ，傳輸線的特性阻抗 o o Z R  ，負載電阻 L o R R  ，欲求解負載 電壓 Lv 。 若基於電路學求解 Lv 時，請寫出其針對該傳輸導線的基本假設，並寫出 導線上任一點（參考平面C-C'處）的電壓 C v ，以及負載電壓 Lv 。（9 分） 若基於電磁學求解 Lv 時，請寫出其針對傳輸導線的基本假設，並寫出 導線上任一點（參考平面C-C'處）的電壓 C v ，以及負載電壓 Lv 。（16 分）

自由空間中有一個半徑為b之球形電子雲，其固定之體電荷密度(C/m3)為 0 ρ , 0 R b    ，及ρ 0, R b  ，請計算空間中任一位置之靜電場強度 E 與電通密度D，及在R b  區域內儲存之靜電能。（25 分）

空氣中有一電荷q，距離r 處之電位ܸ= ௤ ସగఢబ௥，現若將另一電荷ܳ，從無 窮遠處移至距離r 處，則所需能量為ܷ= ܸܳ= ௤ொ ସగఢబ௥，此能量即為保持此 二電荷距離為r 之能量，或稱該二電荷相關之靜電能U。如圖一所示，現 於空氣中有八個正電荷(1)~(8)，電荷量均為q，分布於邊長為a 之正立方 體的八個頂點，於正立方體中心處放置一負電荷，電荷量為Q。 試推導中心處負電荷Q 與八個正電荷q 相關之總靜電能ܷି。（10 分） 推導八個正電荷q 相關之總靜電能ܷା。（10 分） 由正電荷與負電荷之總靜電能ܷ= ܷା+ ܷି觀點，寫出此九個電荷位置 成穩定分布之條件式。依據此條件式，推導中心處負電荷Q 之電荷量。 （5 分） 圖一

下列是有關向量和向量場特性的探討與證明： 如果兩個向量A  和B  ，針對另外一個特定向量D  的投影滿足下列的關係： A D B       D  請問這是否可以推論A B    ？（2 分） 如果你在子題的答案為非，設A B C      ，請找出一個 0 C   的例子 （可以透過畫圖呈現），並說明C  必須滿足何種特性或關係。（10 分） 如果兩個向量場 , , A x y z  ( )和 , , B x y z  ( )的散度，滿足下列的關係： A B     請問這是否可以推論A B    ？（3 分） 如果你在子題的答案為非，設A B C      ，請找出一個向量場 , , 0 C x y z   ( ) 的例子，並說明C  必須滿足何種特性或關係。（10 分）

如圖所示，為一同軸纜線且為無損耗，內導體半徑為c，外導體半徑為 a，兩導體間充填兩種介質材料，其介電係數分別為 1及 2 ，若內導體流 出電流為I 並經外導體流回。 應用安培定律，求0 r a   處之磁通量密度B 的分布。（10 分） 求此同軸纜線之單位長度電感值L。（15 分）

如圖二所示，上下平板均為邊長a 之正方形導體，上平板有非常小的傾斜 角度θ，兩平板左邊之最短距離為h，假設平板面積夠大使得邊緣效應可 以忽略，試求電容C 之大小。（25 分） 圖二 37570

在下圖的結構中，一對經由外部電壓源充電且充有正負電荷Q  的3 維立體 的電容極板，在其周圍建立了電場E  ，其周圍材料的導電率和介電係數 ε 皆為常數，請問其經由材料漏電的電流I 為多少（用 Q、 、ε 等表示）？ （25 分） 注意，針對此流經表面S 向外的漏電流I，其所帶走的電荷將由外部的 電壓源（沒有畫出來）所穩定補充供應。 Hint: J E     & S I J ds      

如圖所示，為a b 矩形波導管，中間充以空氣，考慮 2 a b  ；及a b  兩 種情況，試計算並依序列出TE01、TE10、TE11、TE02、TE20、TM11、TM12、 TM22 各模態的截止頻率（請用主模態的截止頻率表示）。（25 分） b ߝ1 ߝ2 c a b x 18030

有一由完全導體組成的金屬空腔，a = 4 cm，b = 2 cm，L = 6 cm，如圖三 所示。 計算空腔內未填充任何材料情況下的最低共振頻率。（15 分） 若有一電性材料填滿整個空腔，此電性材料不導電。若測得之最低共振 頻率為3 GHz，求此電性材料之介質常數߳௥。（10 分） 圖三

考慮一個沿著z 軸方向傳播的平面波，其電場只有x 分量且其表達式為 0 ( ) jkz x E z E e  ，其中 0 E 是電場的幅值，k   ε 是波數。請計算其對 應磁場H  的表達式，並說明其磁場分量的幅值 0 H 與電場分量幅值 0 E 之 間的比值，以及磁場分量的相位 H 與電場分量相位之間的關係。（25 分）

一橫向平面分布均勻之電磁波，磁場強度 9 0 3 1 ( )cos[3π 10 5π( 3 )](V/m) ˆ η ˆ 2 2 x z E a a t x z      H ，傳播於無窮大的 介質內，其傳播之介質之導磁係數為 0 μ ，本質的阻抗為η，介質的常數 為rε ，長度之單位為m，時間之單位為秒，請問： 平面電磁波所在的傳播介質之介質常數rε 。（10 分） 橫向平面電磁波於此均勻環境下之電場強度E。（15 分）

一線性極化均勻橫向平面電磁波，從介質1(߳ଵ, ߤଵ)垂直正向入射至介質 2(߳ଶ, ߤଶ)，如圖四所示。其中入射平面諧波(Incident wave)之電場相量۳࢏與 磁場相量۶࢏、反射平面諧波(Reflected wave)之電場相量۳࢘與磁場相量۶࢘ 及穿透平面諧波(Transmitted wave)之電場相量۳࢚與磁場相量۶࢚。 寫出入射平面諧波之電場相量۳࢏與磁場相量۶࢏、反射平面諧波之電場 相量۳࢘與磁場相量۶࢘及穿透平面諧波之電場相量۳࢚與磁場相量۶࢚的表 示式。（15 分） 列出在兩介質交界處之電場及磁場的邊界連續條件。（5 分） 求解上述邊界條件，得出反射係數Γ及穿透係數τ的表示式。（5 分） 圖四 z