電子工程 106 年電磁學考古題

一不帶電、中空之導體球殼置於自由空間中，球殼之內半徑為a，外半徑為b（a < b）。 於球心置一點正電荷，其電荷量為q。（請自行選取適當座標系統作答） 求靜電場、電位勢和電荷密度於所有空間之分布。（15 分） 若原電荷q 改置於離球心d 處（d < a），求球殼外表面電荷分布。（5 分）

如圖一所示，有一個特徵阻抗100 Ω之傳輸線連接一個由50 Ω之電阻和10 pF 之電 容串聯所組成之負載。若輸入100 MHz 之正弦波週期信號，試求負載端AA'的反射 係數。（25 分） 圖一 傳輸線與負載連接之示意圖

一邊長為L且中心位於原點的正立方體介質材料，其極化向量 ) ( 0 z a y a x a P P z y x + + = 。 計算表面極化電荷密度。（8 分） 計算體積極化電荷密度。（8 分） 計算全部的極化電荷。（4 分）

一半徑為c 之導體球置於一中空之導體球殼內，球殼之內半徑為a，外半徑為b，c < a < b， 兩球體同心。求此系統之電容。（15 分）

有一個相對介電係數ߝ௥為6 的介電材料，且電場強度表示為： E G =xො൫x2+2z൯+yොx2-ẑሺy+zሻ ቀ V mቁ 試求在0 m ≤ x ≤ 1 m,0 m ≤ y ≤ 2 m,-1 m ≤ z ≤ 3 m的區域中所儲存的電能。（25 分）

如圖所示，兩根半徑為a 的圓形截面平行導線有方向相反且大小相同之電流，兩導線 的軸心相距 ) ( a d d >> ，試求此傳輸線單位長度之電感L。（20 分）

一長直同軸傳輸線由兩同軸導體組成，內為一實心導線（截面半徑為a），外為極薄 之空心導體柱（截面半徑為b，殼厚度可忽略），a < b。兩導體通以大小相等但方向 相反之電流I。假設電流在各導體均勻分布，導線材料及兩導體間之填充物皆為非磁 性。（請自行選取適當座標系統作答） 求磁通量密度（magnetic flux density）B 於所有空間的分布。（15 分） 求傳輸線單位長度之自感（self-inductance）。（10 分）

如圖二所示，有一個無限長的導體置放於X 軸上，若導體上有20 A 的電流I1 沿著 xˆ + 方向流動，並且在x-y 平面上，放置一個匝數為40 的圓形線圈C，如果在此線圈中 心處的磁場強度為零，試求在該線圈上的電流方向與電流大小。（25 分） 圖二 線性電流附近置放圓形線圈示意圖

靜磁場的兩個重要公式：  0 B = ⋅ ∇ ，表示磁通密度B的散度為零，試申述其物理意義。（10 分）  J B 0 μ = × ∇ ，其中電流密度J須滿足何種條件？試申述此一條件之物理意義。（10 分）

試寫出馬克斯威爾方程式（Maxwell’s equations），並證明其滿足電荷守恆律（即滿足 電荷連續方程式）。（10 分）

若平面電磁波在一個非磁性材料中傳播，其磁場強度表示為： H G =zො30cos൫1.5×108t-5y൯ ൬mA m ൰ 試求其電場強度的向量形式。（25 分） x d = 2 m I1 1 m y C 傳輸線 A' Z0 = 100 Ω A 50 Ω 10 pF RL CL

一有損傳輸線之單位長度串聯電感為L，單位長度串聯電阻為R，單位長度並聯電容 為C ，單位長度並聯電導為G。 試繪出一小段此傳輸線（長度為 z Δ ）之等效電路圖，並藉以推導時間諧波（time harmonic）傳輸線方程式。（10 分） 求電壓相量 ) (z V 及電流相量 ) (z I 之解的數學式。（5 分） 推導傳播常數γ 及特徵阻抗 0 Z 與 C G L R , , , 的關係。（5 分）

一角頻率為ω、線性偏極化之平面波行進於自由空間。選擇適當時空座標系統，使得 x 方向為波偏極化方向，z 方向為波行進方向，時間t = 0 時電磁波在z = 0 有最高電 場強度E0。 以數學式表示此電磁波之電場隨時空變化。（10 分） 求此電磁波之磁場隨時空變化。（10 分） 求此電磁波之時間平均功率流密度，即時間平均坡印廷向量（time-average Poynting vector）。（10 分）

試證明任一橢圓極化平面波可以分解為右旋圓極化平面波與左旋圓極化平面波之 和。（20 分） z y I I x d o