電子工程 101 年電磁學考古題

真空中有一介質球，其介電常數ε，半徑a，電荷體密度ρ＝kr，k 為常數，r 為球中 心至球內一點之距離。 寫出介質球內部之電通密度D 及電場強度E 表示式。（4 分） 寫出介質球外部之電通密度Do及電場強度Eo表示式。（4 分） 寫出介質球中心之電位V 表示式。（2 分） 寫出介質球內部之極化電荷體密度ρp表示式。（3 分） 寫出介質球表面之極化電荷面密度ρsp表示式。（2 分）

圖一所示為兩個圓球形導體，半徑各為b1及b2（b2> b1）。兩個圓球形導體之間以一 細金屬導線連接。假設兩球形導體距離很遠，遠大於b1及b2，因此電荷可視為均勻 分布於球形導體上。若有總電荷Q放置球形導體上，中間為空氣， 0 ∈。試求兩球 形導體上之個別電荷。（7 分）球形導體表面上之電場強度比值。（8 分） 圖一 Q d1 d2 0 ∈

有一由完全導體組成的金屬空腔，a=2 cm，b=1 cm，c=3 cm，空腔內未填充任何 材料，如圖1 所示。 計算空腔內未填充任何材料情況下的最低共振頻率。（10 分） 若有一磁性材料填滿整個空腔，此磁性材料不導電、介電係數為εo、導磁係數為 μ=μrμo。若測得之最低共振頻率為7.5 GHz，求此磁性材料之相對導磁常數μr。 （εo=8.85×10-12 F/m，μo=1.256×10-9 H/m。）（10 分） 圖1

一長圓柱半徑a，其電荷體密度ρ，以ω 角速度繞圓柱中心旋轉。 寫出圓柱軸中心之磁通密度大小B 表示式。（5 分） 寫出圓柱外部之磁通密度大小BBo表示式。（5 分）

兩個接地且互相垂直的導體半平面（half-plane）如圖二所示。一點電荷Q距離兩半 平面各為d1及d2。試求兩半平面由於感應電荷產生對於電荷Q之作用力。（假設周圍 為空氣，∈）（20 分） 0 圖二 y b a x B h b-a O φ A y

有一均勻環形電荷置於一區間中(μo, εo)，總電荷量是+Q庫侖，如圖2 所示。灰色 邊界是由完全導體所組成，沿x和y軸無窮延伸。均勻環形電荷之圓心座標為p=(10 cm, 10 cm)，半徑為r=1 cm。 求在圓心之電場E。（10 分） 求在完全導體邊界之總感應電荷。（10 分） y x 均勻環電荷 完全導體 圖2 101年公務人員高等考試三級考試試題 代號： 類 科： 電子工程、電信工程 全一張 （背面） 36070 36170

一理想無損長方形導波管其寬邊為a、窄邊為b，寫出其TE10模態之傳播常數及 截止頻率表示式。（5 分） 現有一TE10模態之電磁波於此導波管內傳播，但其中有一段導波管寬邊為a/2、窄 邊為b，長度為l，說明此段導波管為一衰減器，並寫出其衰減係數表示式。（5 分） 已知一長方形導波管a＝2.286cm、b＝1.016cm，有一10GHz電磁波以TE10模態於 其內傳播，欲使用上小題之衰減器達成30dB衰減量，忽略衰減器之寬邊不連續效 應，計算此段衰減器之長度l。（5 分）

一具有均勻厚度h，導電率為σ 之導電材料，其形狀如圖三所示，為一大小四分之 一之扁平圓形墊圈（a quarter of a flat circular washer），內半徑為a，外半徑為b。 試求兩個尾端表面A、B 間之電阻R。（15 分） 圖三 101年公務人員特種考試警察人員考試、 101年公務人員特種考試一般警察人員考試及 101年特種考試交通事業鐵路人員考試試題 類 科： 電子工程 全一張 （背面） (1) (4) x (2) (3) y I I b2 b1 B|| O

在一環境中存在均勻低頻磁場 t B z B o ω sin ˆ = ，z為z 軸的單位向量，如圖3 所示。若有 一正方形金屬環水平置於此環境中，金屬環之邊長為a（m），電阻為R（Ω）。 ˆ 求此金屬環之感應電流。（10 分） 求此金屬環之平均消耗功率。（10 分） 求此金屬環所受的總磁力。（10 分） 圖3

證明使用Smith 圖可讀得一複數之倒數。（5 分） 說明如何由Smith 圖讀得由負載造成於一無損傳輸線上之VSWR 值（voltage standing wave ratio）。（10 分） 如圖一所示，負載阻抗ZL位於Smith圖之A點，如電路為一串聯電感，於Smith圖 標示因此電感電路所造成A點移動之軌跡。（5 分） 電路 ZL A 圖一 101年特種考試地方政府公務人員考試試題 代號： 類 科： 電子工程、電信工程 全一張 （背面） 34280 34380

圖四所示為一位於x y平面上長方形迴線（rectangular loop），邊長各為b1及b2，置於一 均勻磁場 z z y y x x 101年公務人員特種考試警察人員考試、 101年公務人員特種考試一般警察人員考試及 101年特種考試交通事業鐵路人員考試試題 類 科： 電子工程 全一張 （背面） B a B a B a) ) ) + + = B 。試求在此迴線上所造成之力及轉矩。（15 分） 圖四 圖四

有一基地台架設於地面上，高度為H，為了簡化計算，假設其發射的電磁波是均勻 平面波，地面視為完全導體。某甲持一手機，手機的天線高度為h，離基地台之水 平距離為D。基地台到達手機的傳播路徑可以視為由直射平面波和地面反射平面波 之疊加，如圖4 所示。 試以H、h、D 表示直射平面波地面入射角度φ和地面反射平面波之入射角度θ。 （10 分） 令到達手機直射平面波之電場為 ) ( 1 ˆ r k t j o D e E z E r r • − = ω ， με ω = k 。請以k、H、h、D 表示 1r k r r • 。（5 分） 令到達手機地面反射平面波之電場為 ) ( 1 2 ˆ r k t j R e E z E r r • − = ω ， με ω = k 。請以k、H、h、D 表示 。（5 分） 2r k r r • 敘述到達手機之總電場與距離D 的關係。為了簡化計算，假設 o E E − ≈ 1 。（10 分） 圖4

一1GHz TEM平面波以入射角θi＝30°傳播至四只相同天線，如圖二所示。 各天線相對距離d＝15cm，假設天線之反射係數為0，穿透係數為1，計算各相 鄰二天線所接收信號之相對相位值。（5 分） 各個天線接收之信號經所接之傳輸線（其 2 25 r . ε = ）l＝90cm 後，再經對應之天線 發射，計算各相鄰二天線所發射信號之相對相位值。（5 分） 此四只天線發射信號是否仍為TEM平面波？解釋之，並計算其發射角θt，並說明 發射信號之傳播方向。（5分） iθ d d d l l 1 2 3 4 圖二 六、一無損傳輸線其特徵阻抗Zo，傳播常數γ＝jβ，長度l。 其T-型等效電路，如圖三所示，Z1、Z2、Z3為其中各元件之阻抗，說明其應具有 之特性。（5分） 參考所具有之特性，推導此T-型等效電路各元件之表示式。（15 分） 如該無損傳輸線為一低特徵阻抗傳輸線，說明其T-型等效電路可近似為一並聯電容， 並說明該傳輸線之長度 l 所須滿足之條件，以及寫出此電容之表示式。（5分） Z1 Z3 Z2 圖三

一均勻平面波，電場強度為 x xE a E ) = ，在一無損失簡單介質( ) 0 ,1 ,4 = = = ∈ σ μr r (1) (4) x (2) (3) y I I b2 b1 B|| O z z y y x x B a B a B a 四、圖四所示為一位於x y平面上長方形迴線（rectangular loop），邊長各為b1及b2，置於一 均勻磁場 ) ) ) + + = B x xE a E 。試求在此迴線上所造成之力及轉矩。（15 分） 五、一均勻平面波，電場強度為 ) = ，在一無損失簡單介質( ) 0 ,1 ,4 = = = ∈ σ μr r 中傳 播於+Z軸方向。假設Ex為一正弦波，其頻率為100(MHz)，在t=0 及z=1/8(m)時有最 大值為+10-4(V/m)。 試寫出電場E隨時間t及z變化的方程式。（7 分） 試寫出磁場H隨時間t及z變化的方程式。（7 分） 當時間為t=10-8(S)時，Ex具有最大正值時之位置。（6 分） 六、試定義下列名詞（每小題5 分，共15 分）： 坡印亭向量（Poynting’s vector） 駐波比（standing-wave ratio） 導體集膚深度（skin depth of a conductor）