電子工程 104 年電磁學考古題

三個點電荷位於z 軸上，其中負電荷-2q 位於原點，另兩個正電荷+q 分別位於z = d 及z = -d。試求在距離原點甚遠處 ) , , ( φ θ R P 之近似電位及電場強度。（20 分）

利用靜電場之封閉路徑（closed path）向量線積分（vector line integral）為零之結果， 說明靜電場於空間中兩點間之向量線積分大小與路徑無關。（10 分）

現有兩種介電常數分別為ϵr1 及ϵr2 的介電質，它們的界面與z = 0 平面重合。在介質 1（區域1）中之 1 Ev 為 ) 5 ( z + 3

如圖一所示，在一接地導體球之右側有一電荷Q 與球心相距d ，導體球之半徑為a ， 試證明導體球感應之表面電荷密度

如圖所示，試求無窮長導線x x ′與直角三角形導線環ABC 間之互感，其中AB 平行於 x x ′，且距離為d，BC 的長度為h。（20 分）

若以直角座標（rectangular coordinates）將整個空間劃分為兩個區域，區域一（ 0 < x ） 為真空，區域二（ 0 > x ）為一完美導體（perfect conductor）。若一存在於區域一之 均勻平面波（uniform plane wave）朝分隔兩區域之邊界（ 0 = x ）入射，假設該平面 波之時域電場向量表示式為 y i x t E a E ) cos( 0 β ω − = V/m，請分別寫出反射波（reflected wave）與穿透波（transmitted wave）之時域電、磁場強度向量表示式。（20 分）

a x y a + −ay z x v v v ，試求介質2（區域2）中任何點的 2 Ev 及 2 D 。（10 分） v 二、有一圓形小迴路，半徑b，電流I（此即構成一個磁偶極，magnetic dipole），試求該 磁偶極在遠方某一點所造成之磁通密度。（20 分）

/

有一半徑為b 之金屬圓盤，在均勻不變的磁通密度B r 中，以角速度ω旋轉，且有兩固 定電刷分別接在圓盤盤心O 及盤邊P 處，若磁通密度B r 的方向與盤面垂直，試求兩 電刷間的開路電壓大小。（20 分）

附圖為一負載端（ 0 = z ）短路之無損耗（lossless）傳輸線，此傳輸線之特徵阻抗 （characteristic impedance）為 0 Z ，傳播常數（propagation constant）為β ，若傳輸線 之輸入諧波訊號之電壓相量（phasor）表示式為 z j e V z V β − = 0 ) ( 。 負載端之電壓反射係數（reflection coefficient）為何？（8 分） 寫出傳輸線上之總電壓相量表示式。（12 分）

如圖所示，磁路的中央分支上繞有200 匝的繞線，電流為3A，並具有空氣隙。鐵芯 的橫截面積恆為10-3（m2），相對導磁係數等於5000： 求各分支內之磁通量。（8 分） 求鐵芯各分支內，及空氣隙中的磁場強度。（7 分）

2 2 2 2 ) cos 2 (

一邊長為a 之正六邊形電路，若通過電路之電流為I，試求其中心點之磁通密度B。 （20 分）

考慮一帶有均勻靜電荷且位於x-y 平面上之正方形線圈，若線圈之邊長為L，線電荷 密度為 lρ ，計算線圈中心（center）之靜電場強度。（20 分）

一均勻time-harmonic 平面波，其電場及磁場強度分別可表示為 t) ,z ( x E E x av v = 及 t) ,z ( y H H y av v = ： 試推導該電場在一無源（source-free）具導電性（σ）且均勻介質（μ，ϵ）中的波 傳播方程式（wave equation）。（10 分） 並試求該方程式之解。（5 分）

) ( θ π ρ ad d a a a d Q S − + − − = 。（25 分） 二、圖二為細線所繞成之螺線環形線圈，內半徑為a ，外半徑為b，中空部分之截面為 長方形，高度為h ，設線圈之圈數為N ， 螺線環形線圈通過一等值電流I ，試求中空部分任意位置之磁通密度B。（10 分） 試求環形線圈自電感量L。（15 分） 圖二 I I b a r dr h O a S ρ Q 圖一 θ d 104年公務人員高等考試三級考試試題 全一張 （背面） l 三、如圖三所示，考慮有限長傳輸線，其特徵阻抗為 0 R ，波傳播速度為u ，傳輸線長度 為l，輸入端（ 0 = z ）加上直流電壓源 0 V ，其內阻為 0 R ，負載端（ l = z ）加入電感 性負載，電感值為 L L ，在 0 = t 時，將開關按下，試求在負載端的電壓波 ) ( L t v 為何？ 並繪出負載端之電壓波形。（25 分） 四、一真空入射平面波其電場為 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = ) ( sin ˆ ) , ( 0 c z t E x t z i i ω E ，其中 0 0 1 ε μ = c ，在 0 = z 處 有一完全導體平面，入射平面波正向入射於該完全導體平面，試問： 入射磁場 ) , ( t z i H 。（5 分） 反射波之電場 ) , ( t z r E 及磁場 ) , ( t z r H 。（8 分） 並繪出真空中全部電場及磁場分別於 π π π π ω , 4 3 , 2 , 4 ,0 = t 之波形。（12 分） 圖三 z = 0 z = LL vL (t) iL R0 V0 + - - + R0

矩形波導管中空橫截面的長為3 cm，寬為2 cm，試求單一模態的操作頻率範圍。（20 分） x d A B x′ ° 60 h C y

考慮一位於x-y 平面上帶有靜電流之正方形線圈，若線圈之邊長為L，靜電流之大小 為I，計算線圈中心（center）之靜磁場強度。（20 分）

在界面無反射時，當（一）入射波為垂直極化（perpendicular polarization），且 2 1 μ ≠ 及 ϵ1=ϵ2 時；或（二）入射波為平行極化（parallel polarization），且ϵ1≠ϵ2 及 2 1 μ = 時，試證明其Brewster angle 與折射角（refraction angle）之和為π / 2。 （共20 分，（一）項及（二）項之證明，各10 分） μ μ 104年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員考試及104年 特種考試交通事業鐵路人員、退除役軍人轉任公務人員考試試題 代號：70930 全一張 （背面） 類 科 別： 電子工程

一位於真空中、無窮長且均勻環繞（uniformly wound）之圓形螺線管（solenoid）， 螺線管之半徑為a 且單位長度之線圈匝數為 1 N ，螺線管內無任何填充物，計算此螺 線管之單位長度電感值。（10 分） z = 0 l Z0, β z

兩塊接地，半無限大平行電極板間的距離為b。第三塊電極板和這兩者垂直，並與它 們以絕緣材料隔絕而電位維持在V0（如圖所示），這些電極板在z 方向上無限延伸， 試求這些電極板包圍之區域的電位分布。（20 分）