電子工程 111 年電磁學考古題

一球形電容器由兩同球心之金屬球面所組成，這兩金屬球之半徑分別為 a 及b，a < b，外金屬球接地，而內金屬球之電位為V଴，V଴為常數。試 求在這兩金屬球面空間中之電位分布。（25 分）

如圖一所示，有一位於x-y 平面之半圓線電荷分布，其線電荷密度為。 試求在z-軸上任意點（0, 0, z）之下列物理量： 電位（V）。（8 分） 電場強度（E）。（12 分） 圖一

考慮一半徑為R 的圓球，其球心置於原點，其外部電荷為零，內部電荷 分布為 0 ( ) ( / ) r r R    ， 0 為一常數。（每小題10 分，共20 分） 計算在r R  處的電場。 計算在r R  處的電場。

有關介電材料（dielectric）中的靜電場，試寫出並申論在線性（linear） 且無方向性（isotropic）的介電材料中電場強度Eሬ⃗（electric field intensity） 與電通量密度Dሬሬ⃗（electric flux density）之關係式。（10 分）

試求出下列結構之互電感（mutual inductance）： 空氣中一無限長直導線與其附近之一直角三角形導線，如圖二(a) 所示。（10 分） 空氣中一無限長直導線與其附近之一等腰三角形導線，如圖二(b) 所示。（10 分） a y x P(0, 0, z) (a) (b) 120° 60° d d d + b d + b 圖二  z

考慮一條沿z 軸擺放的細導線，其半徑為零，從z 延伸到z ， 沿著細導線流通電流 (amp) I ，從z 流向z 。計算在 0 ( , , ) ( ,0,0) x y z x  處的磁場。（10 分） 考慮一條細導線，其半徑為零，將該細導線繞成封閉環狀，環的半徑 為a，並將該環擺放在xy 平面上，其圓心位在原點。沿著環流通電流 (amp) I ，若以右手大拇指平行z 軸方向，則電流繞右手其餘四指方向 流通。計算在z 軸上的磁場。（10 分）

如下圖之靜磁迴路中，該環狀鐵心（ferromagnetic toroid core）有N 匝線 圈，該鐵心之permeability 為μ，該環平均半徑為ݎ଴，具圓形剖面，半徑 為a，而a<< ݎ଴，及一窄小的air gap ℓ୥。今有一穩態電流（steady current） ܫ଴流入該線圈，ܫ଴為一常數。 推導在環狀鐵心中的磁通密度（magnetic flux density）Bሬ⃗及磁場強度 （magnetic field intensity）Hሬሬ⃗。（12 分） 推導在air gap中的磁場強度Hሬሬ⃗。（9分） 證明在air gap的磁場強度遠大於在環狀鐵心內的磁場強度，如μ >> μ଴。 （4分） （註：忽略air gap 的邊緣磁場（fringe field）） ℓ୥ r0 I0 I0

如圖三所示，有一介電物質其形狀是由部分圓柱幾何曲線（粗線部分） 所定義出的，其介電係數為ε 。根據下列情況，試求其物理量： 如果置於 0  面及   面的導體，其電位分別維持在 0 V  及 0 V V  ， 求該結構的電容值為何？（10 分） 如果該介電物質改為一導電物質，其導電係數為，其電位的邊界條 件與相同，求該結構的電阻值為何？（10 分） 圖三 純量函數f 之梯度運算（gradient）在圓柱座標的表示式為： 1 ˆ ˆ ˆ f f f f z z               拉普拉斯方程式（Laplace’s equation）在圓柱座標的表示式為： 2 2 2 2 2 2 1 1 0 V V V V z                          1  2   , ε  0 

在xy 平面下方(z 0)  為介質一，介電係數及導磁係數為 1 1 ( ) , ε 。在xy 平 面上方(z 0)  為介質二，介電係數及導磁係數為 2 2 ( ) , ε 。一平面波自下 方入射，其磁場表達式為 0 ˆ x z jk x jk z i H yH e   ，在介質一產生一反射波，其 磁場表達式為 0 ˆ rx rz jk x jk z r H y RH e   ，在介質二產生一折射波，其磁場表達 式為 0 ˆ tx tz jk x jk z t H y TH e   。 推導入射波、反射波、折射波的電場表達式。（10 分） 列出入射波、反射波、折射波的波數向量色散條件。（5 分） 從在z 0  的邊界條件推論相位匹配條件， x rx tx k k k   。（5 分） 從在z 0  的邊界條件推出反射係數R 和折射係數T 的表達式。（10 分）

證明time harmonic 平面電磁波Eሬሬሬ⃗= aሬ⃗୶E଴eି୨୩୸−aሬ⃗୷jE଴eି୨୩୸為一圓形極化 波，更進一步證明該圓形極化波在無損耗介質中傳播時之瞬時 （instantaneous）Poynting 向量為一常數，與時間及傳播距離均無關。（25 分）

如圖四所示之一矩形波導管，其內部之電磁場（電場E 及磁場H）如下 列式子所給定：   0 2 ˆ sin sin 2 b y E C t z x b                  2 2 ˆ ˆ sin sin cos cos 2 b y y H C t z y C t z z b b                         其中C 為常數，為相位常數， 2 f    且f 為激發頻率。假設波導管 的四面金屬牆均為理想導體，試求出四面內牆上的面電荷密度（surface charge density）及面電流密度（surface current density）。（24 分） 圖四

將兩片無限大的金屬平板平行於yz 平面擺放，使該兩片金屬板的x 坐標 分別為 0 x 及x a  。當TE（transverse electric）波模態在兩片金屬板間 傳播時，令其電場為 0 ˆ sin( ) z jk z x E yE k x e  。 從邊界條件推論 xk 的可能解。（5 分） 推導對應的磁場表達式。（10 分） 推導對應的複數（complex）Poynting 向量z 分量的表達式。（10 分） 推導使複數（complex）Poynting 向量z 分量為實數時的頻率條件。（5 分）

如下圖，一具有功率P 之電磁波由傳輸線1（Line 1）經由a – a'節點輸 入傳輸線2（Line 2），其特徵阻抗（characteristic impedance）ܼ଴為300 Ω， 及傳輸線3（Line 3），其特徵阻抗值為100 Ω，試計算導入傳輸線1 之 反射功率，與導入傳輸線2 及3 之功率。（15 分） Z0 Z0 Z0

一右手圓形極化平面波可用下列相量（phasor）來表示， 0 ˆ ˆ ( ) ( ) j z E z E x jy e     其中為相位常數。若該平面波正向入射在位於 0 z  的理想導體牆， 試回答下列問題： 決定其反射波的極化。（4 分） 找出該理想導體牆上感應的電流。（6 分） 寫出總電場以正弦參考時間（sine time reference）為基礎的瞬間表 示式。（6 分） ϵ0, μ0 x = a y = b x z y