電子工程 108 年電磁學考古題

如圖所示，將一個半徑為a 的金屬球置於一個半徑為b的金屬球（b a > ） 內部，兩球的球心重疊。假設內金屬球的電位為 0 V ，內金屬球上的總電 荷為Q，外金屬球的電位為0，兩金屬球之間填充介電係數為 1ε 的介電質。 推導兩金屬球間的電場分佈表示式。（5 分） 推導兩金屬球間的電位分佈表示式。（5 分） 將Q 表達為 0 V 、 1ε 、a 及b的函數。（5 分） 推導外金屬球內側的電荷密度表示式。（5 分） 推導兩金屬球間的電容表示式。（5 分）

已知靜電場為保守場，即 0 = ⋅ ∫    d E C ，若將歐姆定律 E J   σ = 代入，可得 0 1 = ⋅ ∫    d J Cσ 。試申述其意義？（25 分）

一均勻薄帶電圓盤位於自由空間x-y 平面上，其半徑為b，若圓盤的面 電荷密度為 sρ 。求圓環盤中心軸（z 軸）上任一點之電位V 與電場強度 E G 。（請自行選取適當座標系統作答）（20 分）

已知自由空間裡之球對稱電場分布為 ܧሬԦ = ቊܽԦோܴߩ଴/（3߳଴）, ܴ< ܾ ܽԦோߩ଴ܾଷ/（3߳଴ܴଶ）, ܴ> ܾ 求算 分別在ܴ< ܾ及ܴ> ܾ之電位ܸ及電荷密度ߩ௩。（20 分） 儲存於電場之能量ܹ௘。（5 分）

一片厚度為h之磁性材料（導磁係數為 1 µ ）置於兩片平行金屬板之間， 兩片金屬板長度為 0 L 、寬度為 0 W ，並於 0 z L = 處以第三片金屬板相連。 兩片平行金屬板於 0 z = 處分別接到一直流電流源之兩端，電流源之電流 為 0I 。假定金屬板上的電流密度均勻，金屬板之間的磁場也均勻。 列出兩片平行金屬板內側的電流密度表示式。（6 分） 列出金屬板之間的磁場表示式。（6 分） 列出金屬板之間的總磁通量表示式。（6 分） 推導此一金屬板包夾磁性材料結構的電感表示式。（7 分） 0 V 1ε a b 0 W h 0L 0I 1 µ z x y

向量為 zz y y x x R ˆ ˆ ˆ + + =  為原點至任何位置之位置向量，試求封閉面積分 s d R S   ⋅ ∫ ，其中積分封閉面積為一半徑3，高度6 之封閉圓柱面，如圖1 所示，圖中點Q 之直角座標為（3, 4, 5）。（15 分）  ) 4 sin( )

一同軸電纜由兩同軸導體組成，內導體為半徑a 之實心導線，外導體為 半徑b 之空心導體柱，其厚度可忽略不計，兩導體間之填充媒質的介電 係數（permittivity）為ε ，若內導體相對於接地外導體之電位為 0 V 。求 兩導體間之電位分布V、電場強度E G 、電通密度D G ，以及每單位長度之 電容值C。（請自行選取適當座標系統作答）（20 分）

關於自由空間之靜磁場 磁通密度滿足∇∙ܤሬԦ = 0，說明其代表之物理意義。（5 分） 應用安培定律之微分式，證明克希荷夫（Kirchhoff）電流定律。（5 分） 以磁位ܣԦ表示，令ܤሬԦ = ∇× ܣԦ，代入安培定律，進一步令∇∙ܣԦ = 0，給 定電流密度ܬԦ時，推導ܣԦ須滿足之方程式，並說明何以我們可以要求 ∇∙ܣԦ = 0。（10 分） 利用求得之方程式，與靜電學Poisson 方程式比較，將ܣԦ表以ܬԦ之積 分。（5 分）

如圖所示，一段長度為z ∆的傳輸線的等效電路，其單位長度的電容為 C 、單位長度的電感為L，電壓分佈為( , ) V z t 、電流分佈為( , ) I z t 。 請應用Kirchhoff 電壓定律及電流定律推導( , ) V z t 及( , ) I z t 的一階聯立 方程式。（10 分） 求解上述聯立方程式推導出 ( , ) V z t 及( , ) I z t 各自滿足的二階波動方程 式。（10 分） 列出( , ) V z t 的通解，並代入一階聯立方程式得出( , ) I z t 對應的表示式。 （5 分）

cos( ) , , ( z y e z y x f x π π − = ，試求封閉路徑線積分   d f C ⋅ ∇ ∫ ，其中積 分封閉路徑為邊長3 之正方形封閉路徑，如圖2 所示。（10 分） 圖1 圖2 z x y P1(3, 0, 0) P4(3, 0, 3) P3(3, 3, 3) P2(3, 3, 0) Q x y z 6 3 O 三、圖3 為一對半徑均為a 行雙導線單位長度電容

一平行板電容器，其板面積為10 cm2，兩板相距0.2 cm，其間填充一種 相對介電係數為 2 rε = 及電導率為 5 4 10 σ − = × S/m 之媒質。為維持電流 穩定地通過媒質，在兩板間外加一120 V 之電位差。求媒質之電場強度 E G 、體電流密度J G 、功率密度p，以及電阻R。（請自行選取適當座標系 統作答）（20 分）

一角頻率߱之均勻平面波ܧሬԦ = ܽԦ௫ܧ଴݁ିఊ௭傳播於有損介質，其導磁係數、 介電係數及導電係數分別為ߤ、߳、ߪ 在何條件下，此一介質可視為良導體？下列子題均假設良導體成立。 （5 分） 推導其傳播常數ߛ= ߙ+ ݆ߚ，得出衰減常數、相位常數之表示式。（10 分） 以銅為例，ߪ= 5.8 × 10଻ S/m、ߤ= ߤ଴、߳= ߳଴，求算在3 MHz 時之 本質阻抗大小、相速度。（10 分） 26870

如圖所示，兩片平行金屬板構成一個導波管，兩片金屬板間填充介電係 數為 1ε 、導磁係數為 0 µ 的介電質。假設導波管內部的電場為 0 ( ) 0 = j t k z E yE e ω −  。 將電場代入Faraday’s law，推導出導波管內部的磁場表示式。（5 分） 列出電場振幅與磁場振幅的比值。（5 分） 列出兩片平行金屬板內側的電流密度表示式。（5 分） 列出兩片平行金屬板內側的電荷密度表示式。（5 分） 列出功率密度 * S E H = × 表示式。（5 分） L z ∆ C z ∆ z z z + ∆ z x y 0 1 ( , ) µ ε

圖4 所示，考慮長度為 其特徵阻抗為R0 = 50 壓15 V，其內阻為Rg 開關按下，試求在傳輸 何？並繪出其電壓波形 Vg(t) 15(V) 0 t 1(μs) a 之平行圓柱形導體，圓心相距 容 ) 2 / ( cosh 1 0 a D C − = πε 。（25 分） 圖3 為400 m 之傳輸線，電波傳播時間 Ω，輸入端（0 m）加上時間為期 = 25 Ω，負載端（400 m）為短路 輸線中間（200 m）在 s t µ 8 < 的電 形。（25 分） 圖4 D a a Rg R0 = 50(Ω) Vg(t) + － 0 200(m) 26130 距為D，試證明此平 間延遲為 s T µ 2 = ， 期 s µ 1 之方形脈波電 路，在t = 0 時，將 電壓波v（200, t）為 400(m)

一導體如下圖所示，位於x-y 平面上，並載有電流20 A。若在此區域中， 磁通密度B G 為1.25 z aG T，求該導體所受之作用力F G 。（20 分） B G 為1.25 z aG T y x

有一50 歐姆傳輸線之單位長度電阻、電感、電導、電容分別是ܴ、ܮ、ܩ、ܥ， 吾人可推導出其傳播常數滿足ߛ= ߙ+ ݆ߚ= ඥሺܴ+ ݆߱ܮሻሺܩ+ ݆߱ܥሻ，當 ܴ/ܮ= ܩ/ܥ時， 求算ߛ之表示式。（5 分） 說明為何此條件下，稱為無失真傳輸線。（5 分） 若ܥ= 0.1 nF/m、ܴ= 0.06Ω/m，求算ܮ、波行進之相速度、及單位長 度衰減dB 數。（15 分）

在完美的介電性媒質內，有一電場 cos( ) x E t kz a ω = − E G G V/m，其中E 為 峰值，而k 為常數，若該介電性之介電係數為ε ，以及磁導率為μ ，求 該區域內之電通密度D G 、磁通密度B G 、磁場強度H G ，以及波印亭向量S G （Poynting vector）。（20 分）