電子工程 107 年電磁學考古題

總電荷Q0 均勻地分布於一球體，球體的半徑為b，球心C 的座標為 (xc, yc, zc) = (0, 0, h)，如圖一(a)所示。求在原點O 的電場 A E G 。（10 分） 將圖一(a)的均勻電荷球體挖出一小球，球心S 的座標為(0, 0, h-a)，半 徑為a，且將此挖出的電荷球置於原球體的上方，球心P 的座標為 (0, 0, w)， 1

假設空間中存在靜電場 ，若將一電荷 由空間 之位置移至 之位置所需 做的功為W ，又 相對於 之靜電位V 的物理意義為 ，請依據 與 之關係，詳細推導證明V (C) q 1

總電荷Qo 均勻地分布於一中空球體，中空球體的內徑為a、外徑為b、球心座標 (xc, yc, zc) = (0, 0, h)。有一無窮大的接地完全導體平面放置於z = 0，如圖一所示。 求在球心的電場 。（10 分） C E G 求在P 點（h, 0, 0）的電場 P E G 。（10 分） 求在完全導體平面之總感應電荷Qind。（5 分） x 帶電中空 球體 o a b 接地的完全 導體平面 P z 圖一

a b = ， 1 2 b h = ，w ，如圖一(b)所示。計算在原點O 的電場 ，以及 2 = h B E G B A E E G G 。（15 分） 二、有一直流弧形電流I，弧半徑為R，弧角為 o φ ，如圖二(a)所示。證明 其在弧心（O 點）的磁場為 o A R z B φ π I μ 4 ˆ 0 = G 。（10 分） 有一直流電流I，因為佈線的需求，其電流路徑形成一多邊環路，如 圖二(b)所示，此多邊環路對稱於y 軸， ，c a， 2 b a = 4 = 2 π θ = 。利用 的結果，計算在弧心（O 點）的磁場 B B G 。（10 分） x 直流弧形電流 R O 圖二(a)

)J( 21 2 P 1P ) V ( 21 ) C ( /)J( 21 q W ( 21 W 2 1 P P P P )J ) C ( q ∫ − = 21 • d E lv v ，其中lv d 代表 至 路徑中微量 長度及切線方向。（20 分） 1P 2 P ) (A/m2 Jv ) (C/m3 ρ 二、根據電荷守恆原則（Principle of Conservation of Charge），導體內之體積電流密度 與導體內之體積電荷密度 滿足連續方程式（Equation of Continuity）： t ρ J ∂ ∂ − = • ∇ v (S/m) 。假設此導體之導電係數σ 為一勻質導電係數，此導 體之介電常數 為一勻質介電常數，並假設導體之體積電荷密度 於時間 (F/m) ε ) (C/m3 ρ 0 = t 時等於 ，請詳細推導證明 ) (C/m3 0 ρ ) C/m (

一無窮大的面電流置放在z = D 的平面上，其電流密度為 。此面 電流下方A 區有一正方形金屬環（邊長為a，內阻為R），和無窮大的接地完全導體 平面（在z = 0）。如圖二所示。 ) / ( cos ˆ 2 m A t K x k o ω = G 求在A 區（0 < z < D）的磁場 A H G 。（5 分） 求在B 區（D < z）的磁場 B H G 。（5 分） 求金屬環感應電流Iind 之振幅峰值大小。（10 分） 圖二 107年公務人員高等考試三級考試試題 36270 全一張 （背面） 類 科： 電子工程、電信工程 科 目： 電磁學

有一平面波在A 區間中行進，正向入射於B 區間，如圖三，A 區間的介 電係數為εd = ε0、導電係數為σd =0 S/m、導磁係數為μd = μ0，B 區間的 介電係數為εw = 4ε0、導電係數為σw =100 S/m、導磁係數為μw = μ0。 ) F/m ( 10 854 .8 36 10 12 9 − − × = = π ε ) H/m ( 10 256 .1 10

) / ( 0 t e σ ε ρ ρ − = ) (A/m2 Jv ) (Wb/m2 (Wb/m B 。（20 分） 三、已知一半導體（Semiconductor）內有體積電流密度 流通，同時又有外加磁通 密度 交鏈半導體，而且 Bv ) 2 v Jv ) (A/m2 與 的方向垂直。請詳細說明半導 體內霍爾效應（Hall Effect）發生之原理。（20 分）

有一平面波在海水中行進，海水的介電係數為 o ε ε 81 = 、導電係數為 S/m 1 = σ ，導磁 係數為 o μ ， ， 。 平面波的電場為 )

6 7 − − × = × = π μ 0 。 。 0 10 2 sin( ˆ ) 10 9 9 z t E y z t o o o β π β π − + − 入射平面波的電場為 。 ) 2 cos( ˆE x E o in = G 求βo。（5 分） 說明入射平面波的極化特性？（5 分） 求進入B 區間之透射平面波的電場 T E G 。（20 分） G in E G T E G R E 四、有一微波電路是由兩顆微波晶片（晶片1 和晶片2）和微帶線（microstrip line）所組成，如圖四(a)所示。微帶線是一種傳輸線，其特性阻抗為Z0， 長度L= 0.25λg，λg 是微帶線的波長。其中 ， 。 50 Z = Ω 40 10 Z j = − Ω S L 求圖四(a)中，晶片2 在O 點所呈現的阻抗Zin。（5 分） 計算在圖四(a)微帶線上的電壓駐波比（VSWR）。（5 分） 欲達成兩顆晶片的阻抗共軛匹配，在主微帶線旁接一段開路微帶線， 長度為s，特性阻抗為Z0，稱為旁微帶線，如圖四(b)所示。請詳述如 何由ZL、ZS、Z0 和λg 計算出d 和s。（15 分） z 晶片1 圖四(b) O 晶片2 ZS ZL B Zin A s d L 主微帶線 旁微帶線

通常捷運及公車之悠遊卡收費系統所使用的通訊技術為13.56 MHz RFID（Radio Frequency IDentification），請說明13.56 MHz RFID 通訊技術是運用近場磁通交鏈感 應（Induction by Near-Field Magnetic Flux Linkage）或是遠場電磁輻射感應（Induction by Far-Field Electromagnetic Radiation）。（20 分）

o = μ 20 ˆ e y / ( 10 854 .8 36 / 10 m F o × = = π ε ) 10 2 cos( 100 ˆ 7 z t e x E z β π 12 9 − − 7 − ) / 256 .1 10 m = × π 10 2 sin( 7t z π ( 10 6 H − × )z β α α − + − − = − G 。 14 .3 = 註：π ， 43 .0 log ≈ e 。 求衰減係數α 。（5 分） 求此平面波在海水中的波速。（5 分） 說明這平面波的極化特性？（10 分） 若此平面波行進了1 m，求此平面波功率密度衰減了多少dB？（10 分） 四、一矩形導波管由完全導體組成，a = 3 cm，b = 2 cm，L = 100 cm，管內是真空，如圖三。 行進波TE10 的電場為 ) 2 ( ) sin( ˆ z k t f j z o e x k E y E − = x o y π G 。波導管內量測到的波長是8 cm。 求TE10 模的截止頻率 。（5 分） cut f 求TE10 模的操作頻率fo。（5 分） 求在y = 0 的金屬面上的感應電荷密度 S ρ 。（5 分） 求磁場強度的大小H G 。（10 分） x y z 0 b a L 圖三

有一無損耗傳輸線（Lossless Transmission Line）之特徵阻抗（Characteristic Impedance） 為 ，負載阻抗（Load Impedance）為Z 。請依據無損耗傳輸線阻抗轉換公 式，詳細推導證明一個二分之ㄧ波長（Half Wavelength）串接傳輸線段（Cascaded Transmission Line Section）等效上是一個1 的變壓器（Transformer）。（20 分） ) ( 0 Ω Z ) (Ω L 1 :