電子工程 93 年電磁學考古題

在半徑為R1、帶電量為Q 的金屬球外，分別套有一內外半徑分別為a、b 之同心均勻 電介質球殼(其介電係數為 )，及一內外半徑分別為R2、R3、帶電量為q 的同心金屬 球殼（R1< a < b < R2 < R3），試求空間各處的電位移向量、電場強度、極化電荷和電 位。（20 分）

設有一電量為Q之點電荷位於無窮大真空之原點，試求與此點電荷相距為r 之P點 的靜電場。（5 分） 上題之答案在 0 → r 時是否仍然正確？何故？（5 分） 假定於時間't 時， 小題之點電荷電量由Q突然變為' Q ，則P點之電場是否亦於時 間't 立即改變？你的答案與靜電場之解有否矛盾？理由為何？（5 分）

在一無窮大的均勻介電質內挖一個半徑為R 的無窮長圓柱形空腔（中心軸沿z 軸方 向）。設介電質被均勻極化，極化強度為Pv（Pv垂直於空腔軸，沿y 軸方向），試描述 極化電荷在圓柱形空腔表面分布的大致情形，又極化電荷在圓柱形空腔軸線（設為z 軸）上所產生的電場強度之方向及量值為何？（20 分）

設無窮大真空中有相距甚遠，半徑分為a、b之A、B 兩金屬球以長金屬細導線連 接。現假設總電荷量q分布至兩金屬球，而且兩球面上之電荷均為均勻分布，試分 求A、B 兩金屬球表面之電荷量。（5 分） 承上題，試求A、B 兩金屬球表面之靜電場。（5 分） 假定 a b >> ，則A、B 兩金屬球表面之靜電場何者較大？請據以解釋避雷針之原 理。（5 分）

一點電荷q 從原點O 沿正x 軸運動，設某時刻該點電荷運動至距離原點O 為x 之位 置，當時該點電荷之速度為v。今若以原點O 為圓心，a 為半徑作一圓垂直於x 軸， 求通過該圓之截面S 的位移電流為若干？又在該S 圓周上任一點P 之磁場又為何？ （20 分）

考慮一特性阻抗（Characteristic Impedance）為 Ω 50 ，訊號傳播速率 s m/ 10 2 8 × 的 無損耗傳輸線，假設此傳輸線傳送2 GHz 的正弦訊號，試求此訊號在傳輸線上傳 播的波長。（5 分） 承上題，如果此傳輸線接到 Ω 25 之負載電阻，試求負載端之反射係數（Reflection Coefficient）。（5 分） 接續 小題，此時距離負載端0.25 波長處所測得的阻抗為何？（5 分） 接續 小題，假定傳輸線長度有10 個波長，試問傳輸線上各點電壓振幅之最大值 與最小值之比（稱為電壓駐波比，Voltage Standing Wave Ratio，VSWR）為何？ （5 分） 接續 小題，如果此傳輸線負載端接到一個nH 5 的純電感，而且入射的訊號功率 為W 1 ，則由負載端反射的功率有多少？達到穩態（Steady State）後在傳輸線上輸 送的淨功率為若干？（5 分） 接續 小題，如果希望傳輸線不要有反射，則所接負載阻抗必須是什麼樣的阻抗？ （5 分） 九十三年公務人員高等考試三級考試第二試試題 科 別： 電子工程 全一張 （背面）

試寫出自由空間的馬克士威方程式（微分式）。 試証明自由空間的馬克士威方程式在下列變換下： θ θ sin cos ' B c E E v v v + = ， θ θ cos B sin c E 'B v v v + − = ， 其形式不變，式中 0 0 1 ε µ = = E B c 。 又能量密度 0 2 2 0 2 1 2 1 µ ε B E + 及Poynting 向量 0 µ B E H E S v v v v v × = × = 之形式在上述同樣變 換下是否會改變？（20 分）

假設某高導電性媒質（Conductive Media）之介電係數（Permittivity）為ε ， 導磁係數（Permeability）為µ ，導電係數為σ ，且有平面電磁波 jkx e E y E − = 0 ˆ 在其 中傳播。此處假設電磁場對時間之變化為 t j e ω ， 1 − = j ，且有 ωε σ >> ，試 由Maxwell 方程式解出k 與ω、ε 、µ、σ 之關係。注意在此平面波的假設形式下， 對其電磁場相量向量（Vector Phasor）作用之算符∇可以 x jkˆ − 取代。此處xˆ 、yˆ 分 別代表x及y 方向之單位向量。（5 分） 承上題，試求此平面波之複數Poynting 向量。（5 分） 接續 小題，設此平面波在 0 = x 處之功率通量密度（Power Flux Density）為 2 / 1 m W ，試問此平面波要在空間中傳播多遠，其功率通量密度方會衰減至 2 1 / 368 .0 m W e ≈ − ？（5 分） 利用 小題結果，說明何以高頻電波在銅金屬內部不易傳播。假設銅的 m F / 10 36 1 9 0 − × ≈ = π ε ε ， m H / 10 4 7 0 − × = = π µ µ ， m mho/ 10 8.5 7 × = σ 。（5 分）

一點電荷帶電量為 5 10−庫侖，在 y x −平面上以原點O 為圓心，作半徑r =1 公分之圓 周運動，角速度為 =1000 弧度/秒，假設t =0 時，點電荷位於x 軸，試求在t 時刻 時，圓心處的電位移向量Dv及位移電流密度 d Jv 之值。（20 分）

試寫出天線指向性增益（Directivity Gain）的定義。（5 分） 請說明上題定義的物理意義。（5 分） 已知位於無窮大真空原點之某時諧變化（Time-Harmonic）天線，其遠場（Far Field）之相量向量（Vector Phasors）為： θ π φ sin 4 ˆ jkr e r jk H − = ， θ π η θ sin 4 ˆ 0 jkr e r jk E − = 此處假設電磁場對時間之變化為 t j e ω ， 1 − = j ， 0 0ε µ ω = k ， 0 0 0 ε µ η = ，且其 中 ) , , ( φ θ r 為球座標，rˆ、θˆ、φˆ分別為r 、θ 、φ 方向之單位向量， rˆ ˆ ˆ = ×φ θ 。設天 線本身無損耗，試求此天線輻射之總功率。（5 分） 接續 小題，試求天線在θ 、φ 方向之方向性增益。（5 分）