電子工程 114 年電磁學考古題

一傳遞高頻訊號的同軸電纜：內導體的半徑為a，外導體的半徑為b，兩 導體的厚度可忽略；在內外導體之間，充斥介電常數permittivity 為ε， 導磁係數permeability 為μ0 的介電質；同軸電纜總長度為L。 請詳細推導同軸電纜單位長度的電容大小。（15 分） 請詳細推導同軸電纜單位長度的電感大小。（15 分）

請將直角座標系統的x、y、z 用球座標系統的R、與來表示。（10 分） 請將球座標單位向量ˆR a ，用直角座標的ˆxa 、ˆ y a 與ˆza 來表示。（10 分） 寫出磁場強度、向量磁位、體電流密度、極化向量與傳輸線之相位常 數(β)的物理單位。（10 分）

在自由空間中，有兩條無窮長且均勻的線電荷，其線電荷密度為。如圖 一(a)所示，兩根半徑為a 的圓形截面、對稱且平行的導線，其軸心間距 為d，兩導線上帶有大小相等、方向相反的電荷。假設導線的半徑a 遠 小於導線軸心的距離d（即d ≫a）。請計算：（每小題8 分，共16 分） 此兩條導線的單位長度電容值（capacitance per unit length）。 根據上述結果，請求出圖一(b)所示結構的單位長度電容值。該結構為 一根半徑為a 的細導線，平行放置於一塊接地的導體平板。介質為空 氣，導線軸心與導體平板的垂直距離為h（且h ≫a）。 圖一(a) 圖一(b)

請詳述電磁場（包括電場強度、電通量密度、磁場強度、磁通量密度） 在兩介質交界處的邊界條件：介質1 為介電質dielectric、介質2 為介電 質；介質1 為介電質、介質2 為完美導體。（30 分）

畫出電偶極的結構並標示相關的參數，（5 分）並推導出該電偶極在空間 中所產生的電位為何？（5 分）電場為何？（10 分）

在三維直角座標軸x, y, z 中，一根導電率為σ 的金屬棒，其被彎成一個 平坦的90°圓形，其內半徑為a、外半徑為b，厚度為t，如圖二所示。 請計算此金屬棒在內半徑為a 與外半徑為b 處的兩個垂直表面之間的電 阻值。（16 分） 圖二 z x y t a b 27670

在無損耗簡單介質（相對介電常數relative permittivity 為4，相對導磁係 數relative permeability 為1，導電率為0）中，有一均勻平面波朝z 方 向傳遞，已知其磁場強度 y y H  H a ，Hy 為頻率為100 MHz 的弦波函數， 當 0 t 且 1/ 8(m) z  時有最大值 4( ) 10 A/m  。請詳細推導此均勻平面波磁 場強度與電場強度的瞬時表示式。（20 分）

如下圖，一段有限長（A 點到B 點）的導線，則在距離為r 的觀測點P 的位置，其磁通量密度為何？（10 分）

一個電流迴路呈現為三角形，其型狀為邊長a 的正方形的一半，如圖三 所示。該迴路中有穩定的電流I 流動，周圍介質為空氣。請計算在正方 形第四個頂點處（點P）的磁通密度向量࡮ሬሬ⃗，包含大小與方向（流出紙面 或進入紙面）。（20 分） 圖三

有一電路，包含一個內阻為50 Ω，能產生電壓為10 V，頻率為300 MHz 的訊號產生器；訊號產生器連接一長度為2 公尺，阻抗為50 的傳輸線； 傳輸線末端接上一阻抗為(30 40 )Ω j  的負載。請詳細推導此電路中的相 位常數、傳輸線連接負載處的反射係數、傳輸線上電壓的表示式。以及 若要讓負載端接收到最大的平均功率，其阻抗應設定為多少？（20 分）

在史密斯圖（Smith Chart）的單位圓中（正規化阻抗z r jx   ），試畫 出 1 r 跟 1 x 的軌跡分別為何？（10 分）請自行畫在一個單位圓內， 並標示清楚刻度。 若有一顆1 nH 的電感，則其在史密斯圖上的頻率響應之軌跡為何？ （5 分）該軌跡亦需要標示隨著頻率增加，則線上的點所移動的方向。 同上，若是一顆1 pF 的電容，則其在史密斯圖上的頻率響應之軌跡為 何？（5 分） z 18030

兩段串接的無損耗傳輸線如圖四所示，分別連接至一個時變電壓源與一 個複數負載阻抗。根據電路中所給的各項參數，請求出兩段傳輸線交界 處的輸入阻抗（Zin1, Zin2），最後，請求出傳送至負載的實數功率。（24 分） 圖四

有一波動方程式為( , ) cos( 2 ) V x t t x   ，則其波速及行進方向為何？（5 分） 電磁波極化定義為何？（5 分） 若有一個左手橢圓極化電磁波入射至一個理想的金屬平面，則反射的 電磁波為何種極化？（5 分）試說明或證明之。（5 分）

請寫出高斯定律、安培定律與法拉第定律的微分形式，並說明其物理意 義。在上述定律的基礎上，馬克士威（Maxwell）補充一項，使電磁理論 得以完整。請指出馬克士威所補充的項目，並說明為何需要加入該項。 （註：自由空間中介電係數為ߝ଴，導磁係數為 ߤ଴，體電荷密度為，電 流密度向量為ࡶ⃗，位移電流向量為ࡰሬሬ⃗，電場強度與磁通密度分別以向量ࡱሬ⃗ 與࡮ሬሬ⃗表示，向量微分運算符號為 સ ሬሬሬሬ⃗）（24 分）