電子工程 109 年電磁學考古題

已知向量磁位能（magnetic vector potential） ( ) A r 和電流密度（current density）( ) J r 之關係式為 3 0 ( ') ( )= ' 4 ' J r A r d r r r          ，其中r為場位置，'r為源 位置， 0 為導磁係數（permeability），積分係對應於所有空間，且當 'r   時，( ) J r 較1 'r趨近於零，證明以下三小題。  ( )=0 A r   i 。（8分）  3 0 3 ( ') ( ') ( )= ' 4 ' J r r r A r d r r r               。（6分） 

若真空中有一帶有均勻線電荷密度 l之無窮長導線，求解此導線所建 立之電場。（10 分） 如圖一所示， 0 x  及 0 z  之區域為完美電導體且表面之電位為零，若 題之線電荷以平行y 軸之方式通過座標點（ 0x ,0, 0z ），求解導線外 （ 0 x  及 0 z  ）之電場。（15 分） 圖一

試推導向量三重積恆等式Aሬ⃗×൫Bሬ⃗×Cሬሬ⃗൯= k1Bሬ⃗+k2Cሬሬ⃗，求得k1與k2為何？（15分）

0 ( )= ( ) A r J r       。（6分） 二、於真空中有一點帶正電荷 8 2 10 Q    庫倫及另一點帶負電荷 8 4 8 10 Q    庫倫，其距離為 100 d  公分。 畫出此兩點電荷於一直線上，並標示此直線上之電場為零位置，且予 以說明。（8分） 計算此電場為零之位置。（12分）

如圖二所示， 1 2 B B   、 及

兩個半徑分別為R1和R2的球形導體以一條金屬細導線連接，假設兩個導體 球相距甚遠使得球形導體上的電荷分布可以視為均勻分布。若兩個導體 球的總電荷量為Q，試求： 兩個球形導體上個別的電荷量。（8分） 兩個球形導體表面的電場強度。（7分）

於空氣中有一球形水滴，半徑為0.1 mm，帶有電荷，其承受電場100 V/m 之電力和反承受之重力相同。 計算水滴之電荷值。（10分） 計算水滴電荷產生之電場值。（5分） 已知空氣被打穿之電場為 6 V/m 3 10  ，此水滴是否承受此電荷？（5分）

B  為磁通量密度，若各層物質之相對介磁係數 （relative permeability）為定值且各層間之平行介面上無表面電流存在， 說明

如圖之磁路系統，在中央分支鐵心有N = 200匝的線圈，流入I = 3 A之穩態 電流，該鐵心的橫截面積為S = 10-3 (m2)且相對導磁係數為μr = 5000，試求： 中央分支磁通量∅0及兩邊分支磁通量∅1。（10分） 中央分支鐵心磁場強度(H0)f、空氣間隙磁場強度(H0)g及兩邊分支鐵心 磁場強度H1。（10分）

以下係有關真空內之馬克士威方程組。 分別寫出以積分形式及微分形式之馬克士威方程式組，於其中各微分 形式方程式旁邊寫出對應之定律名稱。（8分） 於小題之微分形式馬克士威方程組中，可由其中兩項旋度（curl）相 關方程式及連續方程式，證明另兩項散度（divergence）相關方程式。 （8分） 以穩態弦波及複數形式寫出於小題之微分形式馬克士威方程組。 （4分）

與 1之關係式與 2 無關。（15 分） 圖二 完美電導體 導線 ( , , ) 三、如圖三所示，一無窮長之直導線上有靜電流1 0I A I  ，直導線旁有一長 方形導線環，若長方形導線環上串接兩個電阻值皆為R之電阻且導線環 以等速度 0 ˆ yu  u a  遠離直導線，忽略導線本身電阻，計算長方形導線環上 之電流 2I 。（20 分） 圖三 四、一於真空中傳播之平面波電場相量（phasor）表示式為 2 ˆ 120 (V/m) i j z y e     E a  假設 0 z  之區域存在一介電常數 4 r 之無損耗（lossless）介電質 （ 0    ），若此波於 0 z  邊界入射： 計算在 0 z  邊界反射與透射係數。（8 分） 寫出透射波（transmitted wave）之電場及磁場相量表示式。（10 分） 計算透射波之複數波印亭向量（complex Poynting vector）。（7 分）

在自由空間中有一平面電磁波，其電場相量Eሬ⃗൫Rሬ⃗൯= Eሬ⃗0e-jk⃗·Rሬ⃗及磁場相量 Hሬሬ⃗൫Rሬ⃗൯= Hሬሬ⃗0e-jk⃗·Rሬ⃗，Eሬ⃗0及Hሬሬ⃗0為常數向量，k⃗為波數向量，Rሬ⃗為位置向量，應 用Maxwell方程式，證明Eሬ⃑⊥Hሬሬ⃑，k⃑⊥Eሬ⃑，k⃑⊥Hሬሬ⃑以及自由空間本質阻抗 η0 = E0 H0 =ට μ0 ϵ0 = 120π (Ω)。（25分）

於真空中內有兩個正弦平面波，沿正z 方向傳播，其入射電場以 1 ( , ) i E z t  及 2 ( , ) i E z t  表示，入射方向相同ˆ ik ，頻率及相位相同（即 1 2 1 2 , i i f f E E     ），此兩個正弦平面波均為圓極化，但極化方向相反。 寫出各圓極化平面波之入射電場向量表示式，並畫出直角座標，標示 各入射電場向量、各極化方向及入射傳播方向ˆ ik 。（8分） 寫出完整之入射電場向量表示式。（2分） 若 1 2 ( , )= ( , ) i i E z t E z t   時，此完整之入射平面波極化為何？若 1 2 ( , ) ( , ) i i E z t E z t    時，此完整之入射平面波極化為何？（2分） 當小題之兩個圓極化平面波正向垂直入射一無限大金屬面，其導電 係數（conductivity）= ，寫出各圓極化平面波之反射電場 1 ( , ) r E z t  及 2 ( , ) r E z t  表示式，並於小題之同一圖上畫出各反射電場向量，標示各 極化方向及反射傳播方向ˆ rk 。（4分） 寫出完整之全部（含入射及反射）電場向量表示式，此為行進波或駐 波？（4分）

一長5 公尺之無損耗之傳輸線（ 0 50 Z  ），分隔傳輸線金屬之介電質 為空氣（ 1 r）。當操作頻率為150 MHz 時，若線之一端接上 (20 40) L Z j   之負載，計算從另一端看入之輸入阻抗。（15 分）

一無損傳輸線的特徵阻抗為R0 = 50 Ω，長度為，連接另一條特徵阻抗為 0 R，長度為，以負載阻抗ZL = 40+j10 (Ω)匹配，試求達成匹配條件所需 的特徵阻抗 0 R及長度各為多少。（25分）