電子工程 95 年電磁學考古題

0.1 庫侖點電荷以5 m/s 速度往東移動，環境中存在朝南大小為2 V/m 之電場及一不 為零之磁通密度B ρ ，試問： 此電荷所受電力之大小及方向。（5 分） 若此電荷不受磁力，我們知道B ρ 的那些性質？（5 分） 承上，若此電荷以同樣速率往上移動，發現不受電磁力，求B ρ 之大小及方向。 （10 分）

有一電偶極（Electric Dipole）如圖一所示，中心點位於球座標原點，且d<<R，試 求P（R,θ,φ）位置之電位V，並利用電位求電場Eϖ。（20 分）

流動於xy 平面之表面電流 ) 4

有一磁偶極（Magnetic Dipole）如圖二所示，中心點位於球座標原點，且b<<R，試 求P（R,θ,π/2）位置之向量磁位Aϖ，並利用向量磁位求磁場Bϖ。（20 分）

( y x s a a J ρ ρ ρ + = A/m 位於空氣中，令在座標 )1,0,0 ( m 處的 磁場強度為H ρ ， 求Hx , Hy , Hz之大小及單位。（15 分） 若 ) ( 2 2 y x x s e a J + − = ρ ρ A/m，求在座標 )1,0,0 ( m 處H ρ 的旋度。（5 分） 三、連續方程式指的是 0 / = ∂ ∂ + ⋅ ∇ t ρ J v ρ ，其中J ρ 是電流密度， vρ 是電荷密度 寫出對應之積分表示式，並解釋其代表之物理意義。（10 分） 在靜電靜磁問題中，所謂的「靜」對應連續方程式中的數學為何？（5 分） 承上，說明與Kirchhoff’s current law 的關係。（5 分）

試推導證明 e e U F ∇ − = ϖ ϖ ，其中Ue 為電位能。（20 分） z R+ R－ θ +q d -q P 圖一 R O I z P（R,θ,π/2） R R1 P" y b P' dλ' x 圖二 φ' ψ θ 95 年公務人員高等考試三級考試試題 類 科： 電子工程 全一張 （背面）

無損介質 ) ( 0 0,ε µ 及 ) 4 ( 0 0 ε , µ 分別位於z＜0 及z＞0，一均勻平面波 ) 3 ( 1 0 ) ( z x j z x i e a c a E E + − + = π ρ ρ ρ 自z＜0 入射，得穿透波 ) ( 0 z β x β j t t tz tx e E E + − = ρ ρ 求 1c 、 tx β 、 tz β 。（15 分） 此波之頻率。（5 分）

圖三是厚度為d 之介電質板波導（Dielectric-Slab Waveguide），假設各物理量與x 座標無關，該介電質為無損耗且波沿著+z 方向傳播，試推導： 2 d tan 0 y d y κ µ µ κ α = （奇橫向電場模態Odd TE Modes） 其中 2 2 2 β ε µ ω κ − = d d y ， 0 0 2 2 2 ε µ ω β α − = ， d µ 及 d ε 分別為介電質的介電係數及導 磁係數。（20 分）

直流電流I 沿正z 方向流經一半徑為a 之無窮長圓柱非鐵磁性導體，此導體以z 軸為中 心，放置於空氣中，且其導電係數是σ ，介電係數為0ε 。令 2 2 y x ρ + = 求在 a ρ = 處之磁場強度H ρ 。（5 分） 求在 − = a ρ ) , ( a ρ a ρ → < 處之電場強度E ρ 。（5 分） 求在 − = a ρ 處之Poynting 向量S ρ 。（5 分） 求在 − = a ρ 處每單位長度S ρ 之面積分。（5 分）

試推導證明弗林斯傳輸公式（Friis Transmission Formula）可表示為 2 2λ r A A P P et er t r = 其中Pr 及Pt 分別為接收功率及傳輸功率，Aer 及Aet 分別為接收天線及傳輸天線的有 效面積，r 為兩天線的距離，λ為工作波長。（20 分） d O z y 圖三 ε0 , µ0 ε0 , µ0