電子工程 105 年電磁學考古題

自由空間中有一個點電荷q0 位在座標系統的原點，且在其周遭建立了靜電場，有另 外一個點電荷qt 位在點P1 處（在z 軸上），當qt 從點P1 移動到點P2（在y 軸上）， 請考慮沿著下列的不同路徑，分別計算電荷q0 的電力對qt 所作的功∫ ⋅

如圖一所示，在兩片面積分別為A 之金屬板中間插入兩片介電質，厚度分別為h1 及 h2，介電係數分別為ε1 及ε2。兩片金屬板分別接到一直流電壓源之兩端，電壓源之 電壓為V0，導致兩片介電質內之電場分別為E1 及E2。（每小題5 分，共25 分） 列出兩片介電質交界處之電場邊界條件。 兩片金屬板之間的電場線積分應與外接電壓源之電壓相等，據此列出E1 及E2 與 V0 之關係式。 根據前述、題之關係式求解E1 及E2。 求解上端金屬板內側之電荷密度。 求解兩片金屬板間之電容表示式。 圖一

1 dl F P P ，其中庫 倫力 2 0 0 ˆ 4 F R R πε q q t = ，而圖中的內圈半徑為r1，外圈半徑為r2： 沿著路徑C1（P1 到P2 的實線）。（6 分） 沿著路徑C2（P1 到P2 的虛線）。（6 分） 沿著任意路徑C3（P1 到P2 的點線）。（7 分） 從～的結果，你得到什麼結論？（6 分） [提示]：首先，寫出球座標下的dl，……。 （請接第二頁） z x y C3 P1 qt q0 y P2 P2 C1 z x P1 C2 r2 r1 105年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員 考試及105年特種考試交通事業鐵路人員考試試題 全三頁 第二頁 考試別： 鐵路人員考試 等 別： 高員三級考試 類科別： 電子工程 科 目： 電磁學 二、針對下列的電學系統，一個直流電源V12 連接到一塊導電性均勻材料，兩端塗以金屬 極板（1 和2），且材料的橫截面積為A、長度為L，又其導電率為σ ；已知自由電 子會因電場的存在而受力移動，且假設材料內的電場E 是均勻的： 請由 E J σ = 開始，推導出電路學的歐姆定律 IR V = 12 ，其中J 是電流密度。（12 分） 計算其消耗的電功率，請問這些消耗的能量會轉傳給「誰」，並說明電能量被轉 變成何種形式的能量？（6 分） 請解釋 E J σ = 的意義，以及其背後的機制，並與下列的力學系統例子進行比較。 （7 分） 力學系統：在空氣中的雨滴向下墜落的過程中，雨滴會和空氣分子碰撞，將能量轉 傳給空氣分子，使得雨滴最後以等速度（稱為終端速度）落下。 [提示]： ∫ ⋅ = 2 1 12 dl E V 。

如圖二所示，將一金屬線纏繞在一個半徑為a 之磁性圓柱體表面，形成一個N 圈螺 線圈，線圈高度為h，相鄰金屬線圈之間互相絕緣且不留縫隙。將該螺線圈之兩端 點分別接到一直流電流源之兩端，電流源之電流為I0。磁性圓柱之導磁係數為μrμ0。 （每小題5 分，共25 分） 若將螺線圈視為一無厚度之等效金屬圓筒，該圓筒上之電流密度為何？ 列出圓筒內側電流密度與磁場之邊界條件。 解釋為何圓筒內部之磁場可視為一常數。 求解流經圓筒內之總磁通量。 求解該螺線圈之電感。 圖二 V0 A h1 h2 E1 E2 2a μr μ0 h I0 ε1 ε2 105年公務人員高等考試三級考試試題 26570 全一張 （背面） 類 科：電子工程、電信工程 科 目：電磁學

已知靜磁場滿足安培迴路定律如下： ∫ = ⋅ C I 0 dl B μ (3a) 其中C 是任意的封閉迴路（不論其形狀、大小與位置為何），I 是迴路C 所包圍的穩 定電流。 請進一步利用斯托克斯定理（Stokes' Theorem），以推導其對應的點形式安培定律如下： J B 0 μ = × ∇ (3b) 其中J 是電流密度。（11 分） 接著，請證明在交流情況下，(3b)式違背下列的連續方程式 t∂ ∂ = ⋅ ∇ ρ J 其中ρ 是電荷密度；並據此，針對交流情況下，對(3b)式進行必要的修正。（14 分） [提示]： 0 ) F ( = × ∇ ⋅ ∇ 0 E ε ρ = ⋅ ∇ ds ) F ( dl F ⋅ × ∇ = ⋅ ∫ ∫ S C （請接第三頁） L A V12 1 2 E J + － σ 105年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員 考試及105年特種考試交通事業鐵路人員考試試題 全三頁 第三頁 考試別： 鐵路人員考試 等 別： 高員三級考試 類科別： 電子工程 科 目： 電磁學 （請接背面）

如圖三所示，一平面諧波，角頻率為ω，自左側介質（μ0, ε1）垂直入射至右側介質 （μ0, ε2）。該入射平面諧波之電場 in E 、反射平面諧波之電場 re E 及穿透平面諧波之電 場 tr E 可分別表示為 ) ( 0 1z k t j in e E y E − = ω ) 、 ) ( 0 1z k t j re e RE y E + = ω ) 及 ) ( 0 2z k t j tr e TE y E − = ω ) ，其中 R 及T 分別為反射係數及穿透係數。 根據Ampere's law： E j H ωε = × ∇ 及Faraday's law： H j E ωμ − = × ∇ ，分別推導k1 與（μ0, ε1）的關係式及k2 與（μ0, ε2）的關係式。（6 分） 根據Faraday's law： H j E ωμ − = × ∇ ，分別推導入射平面諧波之磁場 in H 、反射平 面諧波之磁場 re H 及穿透平面諧波之磁場 tr H 的表達式。（9 分） 列出在兩介質交界處之電場及磁場的邊界連續條件。（6 分） 求解上述邊界條件，得出R 及T 的表達式。（4 分） 圖三

如圖4a 所示，對於一傳輸線中的電壓和電流，其定義一般用電場/磁場表示如下： ∫ ⋅ − = 2 1 dl E ) , ( t z v (4a) ∫ ⋅ = C t z i dl H ) , ( (4b) 且為了滿足傳輸線的電報者方程式，電壓v 及電流i 的解分別為 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − = − = + + ) / ( ) , ( ) / ( ) , ( p p u t z f I t z i u t z f V t z v 且 0 Z I V = + + （特性阻抗） 或 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ + = + = − − ) / ( ) , ( ) / ( ) , ( p p u t z f I t z i u t z f V t z v 且 0 Z I V − = − − 如圖4b 所示， 0 = z 處為兩個不一樣的傳輸線的交界，設其特性阻抗Z01、Z02 給定， 且入射波 + V 為已知，求反射波幅度 − V 和透射波幅度 + 2 V 之值，以及其電壓反射係 數 + − V V 。（8 分） 比較：對於在介電材料中傳播的一平面波之反射，如圖4c 所示，設 0 = z 處為兩個 半空間介電材料的交界，且其內稟阻抗（intrinsic impedance） 01 η 、 02 η 給定，當入 射波的幅度 + E 為已知，求反射波幅度 − E 和透射波幅度 + 2 E 之值，以及其電場反射 係數 + − E E 。（8 分） 比較和結果表示式的相似處，並陳述其背後的理由。（4 分） 比較和結果表示式的不同處，並陳述其背後的理由。（5 分） 圖4a 2 C i(z) Z0 E H 1 + － v(z) 圖4b 圖4c z=0 z=0 z z H E − V + V + 2 V Z01 Z02 介電材料2 介電材料1 + E − E η01 η02 + 2 E

如圖四所示，為一由理想導體製成之矩形導波管，內部為真空，介電係數為ε0、導 磁係數為μ0。假設導波管內部的磁場z 分量為 z jk z z e y g x f H H − = ) ( ) ( 0 ，並滿足波動方 程式 0 ) ( 2 0 2 = + ∇ z H k ，其中 0 0 2 2 0 ε μ ω = k ，kz 為電磁波在導波管內沿著z 方向傳播的 波數。電場的x 分量及y 分量可表示為 y H k k j E z z x ∂ ∂ − − = 2 2 0 0 ωμ 及 x H k k j E z z y ∂ ∂ − = 2 2 0 0 ωμ 。 推出Ex 及Ey 的表達式，內含f (x)及g (y)。（6 分） 列出在四片理想導體表面，電場分量須滿足的邊界條件。（4 分） 求解f (x)及g (y)的外顯表達式，並註明可能存在的模式。（10 分） 列出可能存在模式的kz 外顯表達式，並註明各該模式可以沿著z 方向傳播的頻率 範圍。（5 分） 圖四 (μ0, ε1) (μ0, ε2) x z y x y z a b (μ0, ε0)