電子工程 92 年電磁學考古題

一長度為L 之圓柱型同軸電容器，其外面金屬表面 之半徑為ro，內部金屬表面之半徑為ri。茲於此二金 屬表面之間，填滿兩種不同之介電質(介電常數分別 為єr1及єr2，所填空間相等)，如圖所示，試求其電 容值。（20 分）

兩無限大且相互隔離的導電板形成一楔狀結構如圖所示，若在靜電狀態時上下兩導 電板的電位各為V0 及０。 試求在0<ψ<α區域內電位及電場強度的分佈。（10 分） 試求在α<ψ<2π區域中電位及電場強度的分佈。（10 分）

有一點電荷 ，置於無限大導體平板（接地）的附近，設此點電荷與導體平板之間 距為 ，試求：（ 分） 導體平板上感應之面電荷ρ （ ）。 導體平板上之總感應電荷。 點電荷與導體平板間之作用力。

在一球形座標（spherical coordinate）中，存在一電荷分布，ρ = 1(C/m3)在 b r a ≤ ≤ 的 範圍中。試求： r = 0（8 分）， r = 2b 的電場強度（12 分）。

假設有一同軸電纜(coaxial cable)，其外導體(outer conductor)的內徑為b，內導體(inner conductor)的外徑為a，假設電流只存在導體表面，因此導體內之電感值可忽略不計。 電纜間的絕緣物質介電係數(permittivity)及導磁係數(permeability)分別為ε 和μ。試求 單位長度的電感值(inductance)。（20 分）

假設在半徑皆為a 的兩條平行的長直導線中，各帶有一大小相同的電流I，但其電流 流動方向相反。若此兩導線的中心軸間隔為d(設d>>a)，又此二導線及其周圍的介質 皆為非磁性材料，試求由此組成的傳輸線的每單位長度的內電感及外電感。（20 分）

有一雙導體平行傳輸線，每一導線之半徑為，若雙導線之間距為（ ），試求此 傳輸線之單位長度電感 （ ）。（ 分）

一載有電流20（A）之矩形迴路ABCD，尺寸為2 cm × 4 cm，位於一載有50（A） 之無限長導線附近，如圖所示，試求此迴路所受之力。（20 分）

試寫出完整的積分型式與微分型式之麥斯威爾方程式(Maxwell’s equations)，並註明 各定律的名稱，及所用各符號的單位。（20 分）

請利用馬克斯威(Maxwell)方程式導出電磁波在組織參數各為(ε,μ,σ)的介質中的 坡印亭(Poynting)定理，並說明其意義。（10 分） 試寫出在一時諧(time-harmonic)電磁場中代表瞬時坡印亭向量及均時(time-average) 坡印亭向量的公式，並說明其差異。（10 分)

有一平面波 ，其頻率 ，由空氣（μ ， ）垂直入射到海水 （μ ， ' 2，σ ）。設μ μ μ （ ）， π 36 1 （ ）， ' 2 ，σ （ ）。試求：（ 分） 空氣中及海水中電磁波之傳播常數（ ， ）與特徵阻抗（ ， ）。 在介面（ ）之反射係數 與傳透係數 。 在空氣中電磁波之駐波比 。 在海水中 深處之電場振幅。

在一個沒有場源的非導電介質（介電係數為ε、導磁係數為μ）內，試求出v、η和 ε、μ的關係式，使得下列電場及磁場表示式滿足所有的馬克斯威爾方程式。 )] ( ) ( [ ˆ vt z g vt z f a E x + + − = ρ )] ( ) ( [ 1 ˆ vt z g vt z f a H y + − − = η ρ 其中 ) ( vt z f − 及 ) ( vt z g + 為任意可微分的函數。（20 分）

沿z 方向的均勻傳輸線上，電壓及電流滿足下列方程式： ) z (I L j dz ) z ( dV ω − = ) z ( V C j dz ) z ( dI ω − = 試推導V(z)和I(z)的通解。（10 分） 附圖中， Ω = 50 C L ，試計算在 4 z λ = 處的電壓。（10 分）

有一條無損耗的(lossless)傳輸線， 若欲使接於此傳輸線一端且阻抗為(40+j30)歐姆的負載產生最小可能的駐波比，試 求此時傳輸線的特性電阻應為多少？（10 分） 試求出此一最小的駐波比及相關的電壓反射係數。（10 分）

有一電流元  ，放在坐標的原點。茲選用球面坐標（，θ，φ），試求此電流 元所產生（輻射）之：（ 分） 向量位A ； 磁場強度H ； 電場強度E 。

具負載阻抗之傳輸線所量測到的駐波圖形（Standing wave pattern）如下圖所示。 試求： 反射係數，Γ。（5 分） 電壓駐波比VSWR。（5 分） 操作頻率（假設傳輸線為50(Ω)空氣介質之TEM 傳輸線）。（5 分） 負載阻抗ZL。（5 分） Z X 2 cm 4 cm I = 50(A) 2 cm A B D C I = 20(A) 37 mV 3 mV Z0 = 50(Ω) 3 cm ZL 0.6 cm 九十二年公務人員高等考試三級考試第二試試題 代號： 科 別： 電子工程 全一張 （背面） 34050

對一個很小的圓形天線，其半徑a 及其圓周長2πa 均遠小於輻射波長λ。如果這圓形 天線位於x－y 平面且其圓心在原點，此天線的電流為I = I0 Cosωt。這圓形天線的輻 射電場及磁場如下： ) R t ( Cos Sin R a I aˆ E β ω θ π β π η φ − = 4 2 2 0 r ) R t ( Cos Sin R a I aˆ H β ω θ π β π θ − = 4 2 2 0 r 試求此圓形天線之： （20 分） 瞬間坡印廷(Poynting)向量？ 瞬間總輻射功率？ 平均總輻射功率？ 輻射阻抗？ єr1 єr2 L, C z = 0 z = λ/4 ZL = 100Ω ZS = 25Ω V0e jωt ～ ri ro L

一已知的右手旋轉式圓形偏振平面波，以相量(phasor)表示如下： z j y x e aj a E z E β − − = ) ˆ ˆ ( ) ( 0 ϖ 。 若此平面電波自空氣中垂直入射於位置在z=0 平面的完全導體壁上。 試求反射波的偏振(polarization)，並說明之。（10 分） 試求感應產生於完全導體壁上的表面電流密度 s J ϖ。（10 分） α V0 - +

在自由空間裡，一個天線的遠域電場的相量表示式如下： V/m 2 5 ˆ R j e R Sin a E β θ θ − = ρ 其中 0 0ε µ ω β = 。 試求： 遠域磁場強度。（6 分） 平均功率密度。（6 分） 總輻射功率。（8 分）