電子工程 110 年電磁學考古題

於真空（介電係數permittivity

已知球座標單位向量ˆ ˆ ˆ ˆ sin cos sin sin cos R x y z a a a a         ， 請證明位置 ˆ ˆ ˆ ˆ y z x R a a a Ra x y z    （10 分） 證明向量恆等式 0 A       ‧ （10 分）

如圖所示，三個半徑均為a 的平行圓柱形導線，其彼此間距為d，假設 d a  ，試求導線間每單位長度的相互電容C10、C20 及C21。（20 分） d d 2a 0 1

請證明馬克斯威爾方程式以及勞倫茲力公式隱含了庫倫力定律：換言 之，請首先推導一個點電荷q1 存在時所產生的電場（過程中請使用高斯 定律求解），接著引入另一個點電荷q2，計算其所受電力。（25 分） [提示]：馬克斯威爾方程式 v D     且D E    B E t      又勞倫茲力為F qE qu B        0 B D H J t          

9 2 1 C 36 10 Nm o    ）中，二金屬球半徑為a 及b，以金屬細線長度為d ( , ) d a d b   相連，其電荷量為Q。 推導細線上之庫倫力F。（10 分） 已知 10 1 cm, 2 cm, 1 m, 10 C a b d Q      ，計算細線上之庫倫力F 值。 （5 分） 二、一同軸線其內外金屬導線半徑為a 及b，其間為空氣（介電係數εo），已 知單位長度l 之內外金屬導線帶有電荷量 l Q 及 l Q  。 推導內外金屬導線間( < ) a r b  之電場 ( ) E r 大小及電位差 a b V V V   表 示式。（10 分） 推導單位長度之電容值 l l Q C V  。（5 分） 若同軸線外金屬導線半徑b 為固定，推導內金屬導線半徑a 值，使電 場 ( ) E a 為最小，且推導此時之單位長度電容值Cl。（10 分）

畫出電偶極（electric dipole）結構及其電力線分布，並寫出在計算電 偶極結構時，假設的前提為何？（8 分） 畫出磁偶極（magnetic dipole）結構及其磁力線分布，並寫出在計算磁 偶極結構時，假設的前提為何？（8 分） 上述的電力線與磁力線分布最明顯的差異為何？（4 分）

二、在xy 平面上，有一條N=10 匝導線的長方形迴路並串聯一個電阻  30 R  ，該迴路於x 方向的長為   0.6 m 及y 方向的寬為   0.2 m ，左 下角位於坐標原點，迴路中通過的磁通密度為    0 ˆ = cos ω β T za B t x   B ， 其中   0

針對在+z 軸上的一點P，原點和點P 間的距離d=6，請回答下列有關圓 柱坐標和球坐標的問題： 寫出圓柱坐標的符號表示，寫出P 點的圓柱坐標值並說明此答案之意 義。（7 分） 請問點P 處的圓柱坐標基底向量ˆr 的方向是否確定或唯一？請詳細說 明理由。（6 分） 寫出球坐標的符號表示，寫出P 點的球坐標值並說明此答案之意義。（6 分） 請問點P 處的球坐標基底向量ˆ的方向是否確定或唯一？請詳細說明 理由。（6 分）

下圖斜線表示環形鐵心線圈（toroidal coils）橫切面，含有N 數線圈，並 通有電流I，計算此線圈之磁通量，已知電流I = 1A、線圈數目N = 2000、 a = 10 cm、b = 20 cm、h = 10 cm 及導磁係數 7

如下圖，有一球狀電子雲分布在0 R a   的區間內具有體電荷密度 ρv=1/R。而在電子雲的外部時（即R a  時），其體電荷密度ρv=0。請求 出分別在0 R a   與R a  的電場強度及電位分布。（20 分） ρv 18030

T B   ，角頻率   7 ω=5 10 rad/s  ，試求迴路電流為何。（20 分） 三、試論述均勻平面電磁波在低損耗介電材料（Low-Loss Dielectrics）與良 導體（Good Conductors）中之傳播常數、本質阻抗與相速度等特性， 並分析兩種材料之不同。（20 分）

如圖，有一個無窮大的平面電流分布（朝出紙面方向，ˆz 方向），其面電 流密度為 ˆ s K zK   ，且 s I K W  （單位：A/m），請利用安培定律求電流分 布上下兩側區域（y>0 和y<0）的磁場H  。（5 分） z x y 6 P I O W x y K  面電流 分布 37870

10 H/m o      。（20 分） 四、於真空中，一金屬圓環半徑a，導磁係數μo，受正弦平面波磁場入射， 波長為 a  。 當此金屬圓環如何相對與入射平面波磁場B（或H）放置，使金屬圓 環產生之電動力（electromotive force）最大，並以原理或繪圖說明解 釋。（10 分） 推導該金屬圓環感應之電動力振幅。（10 分）

如下圖（a），開關S 在t=0 導通電路。而在傳輸線z=0 與z=l 的前5 μs 線 上電壓變化分別如圖（b）與圖（c）。試求V0、Rg、RL與週期T。（20 分） （a） （b） （c）

如圖所示，考慮一特徵阻抗為R0，長度為之無損傳輸線，波傳播速度為 u，負載端（z ）接一電容CL，於時間t = 0 時，將開關按下，接上一 內阻亦為R0 之直流電壓源V0，試求負載端之暫態電壓vL（t）。（20 分）

有關傳輸線不連續處（底下以終端負載為短路為例）的電壓反射係數的 推導，如圖所示設入射波為 z oI e   ，反射波為 z oI e   ，則在短路負載處 （z=0）的終端條件為： 0 o o L V V V      ⑴ o o L I I I     ⑵ 一般認為這兩個終端條件乃是基於z=0 處的克希荷夫電壓定律以及電流 定律；請證明⑴和⑵兩式直接和底下z=0 處的電場邊界條件以及磁場邊 界條件相關： 1 2 0 t t E E   ⑶ 1 2 2 ˆ ( ) 0 s K n H H H            且 ⑷ 亦即，請由⑶式推導出⑴式。（10 分） 請由⑷式推導出⑵式。（10 分） [提示]：請利用圖及圖，想像傳輸線上的電流I 是源自一個無窮大的平面電流 中寬度為W 的一段電流，故推導過程中可以忽略邊緣效應。 z oI e    z oI e    VL IL Zo z=0 z z=-d 短路 ＃1,空氣 ＃2,金屬 Zo I y=0 y=h W ＃2,金屬 I y=0 ＃1,空氣 ˆn 0, 0 E H        y=h . . . . . . . . . 37870

於空氣中，一正弦平面波頻率f，入射電場Ei 垂直照射一金屬導體平板， 其導電率（conductivity）及導磁係數μo。 寫出金屬導體平板之表面電阻Rs 及金屬導體平板單位面積吸收之平 均功率Ps。（5 分） 已知頻率f = 100 MHz，入射電場大小Ei = 1 V/m，金屬導體平板之導電 率 7 =5.8 10 S/m   ，空氣 o =120   p （本質阻抗intrinsic impedance），計 算金屬導體平板之表面電阻Rs及單位面積吸收平均功率Ps值。（5 分） 推導金屬導體平板之衰減係數α。（5 分） 已知金屬導體平板厚度l = 50 μm，計算該入射平面波於金屬導體平板 之相對衰減量dB 值。（5 分）

有一均勻平面電磁波  ( , ) cos( )     z E x t a bt cx a 在μ=μ0 傳播。試求其頻率、 波速、相對介電系數（εr）及 ( , )  H x t 。（20 分） V0

有一均勻橫向平面電磁波在一無窮大的介質內傳播，其電場強度為 E 9 0 ˆ = sin 2 10 5 3 5 3 y a E t x z               （V/m），傳播介質的導磁係數 為 0 μ ，介質常數為ϵr，時間單位為秒，長度單位為m，試問： 此均勻橫向平面電磁波之相速度 p u 及傳播介質的本質阻抗η。（10 分） 磁場強度H。（10 分） V0+ R0 iL 0 z  R0 z  CL vL + _ t _

如圖所示的簡單交流電路，電源 8cos( ) sv t   （volt），電阻R1=3 Ω，電 阻R2=5 Ω，該迴路位於xy 平面上，且迴路面積為2 m2，請問： 若不考慮法拉第感應定律，請寫出克希荷夫電壓定律（KVL）的表示 式，且分別求橫跨在R1 和R2 上的電壓v1 和v2，以及電流i。（7 分） 若納入法拉第感應定律，且設前述迴路電流對應的磁通密度B  為均勻 的且 0 ˆ cos( ) B zB t    （Tesla），求其對應的磁通量Φ 以及感應電動勢 vemf。（4 分） 承，重畫此時的等效電路，並重新計算電壓v1 和v2（納入vemf 疊加 後的貢獻）。（10 分） 承，請寫出此時的克希荷夫電壓定律的表示式，並比較它和的差 別之處。（4 分） x y v2 v1 R1 R2 8cos( ) sv t  