電子工程 102 年電磁學考古題

考慮兩種表面電荷分布產生的電場特性： 如下圖A 的結構（金屬空氣交界面），存在一表面電荷分布，且密度為ρs，請推 導其在上半平面（空氣側）的法線電場Ena。（8 分） 如下圖B 的結構，空氣中存在一表面電荷分布，且密度亦為ρs，請推導其在上半 平面（空氣側）的法線電場Enb。（8 分） 當從上半平面空氣側往下看，將看到同為ρs 的表面電荷分布，請從物理的角度說 明Ena 和Enb 相等或不相等的真正理由。（9 分）

在內徑a=1m 到外徑b = 2m 的球殼內，有一電場RaRrr31E =，計算?dvE=∇∫∫∫• rr（10 分）∫∫=•?sdErr（10 分）

如圖一所示，將點電荷Q 置於一個半徑為b，帶有均勻電荷密度 l ρ 的圓形線圈之中心 軸上，距離線圈平面h 的位置，求兩者之間的電力，（7 分）若h>>b，（4 分） h=0，（4 分）該力為何？ 圖一

如附圖，兩個帶電量為Q1 及Q2 之點電荷，分別位於M 及N 點，M 及N 點在直角 座標系中之座標分別為(0,0,d/2)及(0,0,-d/2)。此一靜電系統在真空環境中（介電常數 設為ε0）之電通量密度分布為D r (R,θ,φ)，電場強度分布為E r (R,θ,φ)。 若Q1=Q2=Q，以原點為中心，2d 為半徑，繪一假想球面，在此球表面考慮下列 積分式，試問 n D r r ⋅ ∫∫ ds=？（3 分）及 n E r r ⋅ ∫∫ ds=？（3 分） 若Q1=+Q，Q2=－Q，並假設R≧d，試將空間中之靜電場分布E r ，以球座標之方 式表示出來。（15 分） 承上子題，請問∇×E r =？（2 分），又請依影像原理設計一靜電系統，使此新的靜 電系統在z>0 之分布與E r 完全相同。（2 分）

考慮電流和磁場的相關特性： 由奧斯特所做的穩定電流使磁針偏轉之實驗，得知電流會在其周圍產生磁場B r ， 再加上電荷守恆的特性 0 = • ∇ J r ，又基於向量分析的一些恆等特性，試證吾人可 以推導出安培定律的數學形式 J B r r 0 μ = × ∇ ，其中 0 μ 為一比例因子。（9 分） 由 0 = • ∇ J r 證明電路學的電流定律KCL 必須成立（亦即，在任一電路節點處，所 有流出的電流總和為零）。（8 分） 請進一步說明電路學的電流定律KCL 在何種情況會失效。（8 分） [Hint]： ) ( ) ( A A A • ∇ + • ∇ = • ∇ φ φ φ ) ( ) ( A A A × ∇ + × ∇ = × ∇ φ φ φ ) ( ) ( ) ( B A A B B A × ∇ • − × ∇ • = × • ∇ 0 ) ( = ∇ × ∇ φ 0 ) ( = × ∇ • ∇ A Ena Enb Enb 空氣 空氣 空氣 金屬 ρs ρs 磁針偏轉 I 金屬 結構A 結構B 102年特種考試地方政府公務人員考試試題 類 科： 電子工程 全一張 （背面）

一條半徑為1cm，conductivity 為σ 的圓柱型長導線，在其表面上鍍上一層厚度為d，conductivity 為2σ 的物質後，單位長度的電阻降為原來的50%，則d 的厚度應該為多少cm？（20 分）

有一個半徑為b 的無限長帶電介質圓柱，其體電荷密度為 v ρ =ar2，而a 為常數，r 為 圓柱的徑向座標，求此一圓柱體內（8 分）體外（7 分）的電場強度E 為何？

考慮附圖所示包含有空氣間隙長為g（單位為m）之磁路系統，假設電流為I（單位 為A），線圈之圈數為N 圈，主要磁路及空氣之介磁係數分別為μ及μ0，主要磁路 之長度為h（單位為m），又磁路之截面積為S（單位為m2）： 試求此磁路中之磁通量密度。（10 分） 試評論此題中，若主要磁路之磁滯曲線已知時，應如何更正確求出磁路中之磁通 量密度。（10 分） 就磁通量密度而言，人體安全標準值為多少毫高斯？（3 分） 在微波頻段利用時變磁場產生渦流來加熱，請問主要應用何定律？（2 分） R M N z x y ) , , ( ) , , ( { φ θ φ θ E E R Dr r θ φ z M x N y R θ φ ⎩ ⎨ ⎧ E Dr r (R,θ,φ) (R,θ,φ) g 斷面積: S 電流I (N 圈) 虛線長度為h g 截面積：S 虛線長度為h 電流I （N 圈） 102年公務人員高等考試三級考試試題 代號： 類 科： 電子工程、電信工程 全一張 （背面） 36070 36170

右式為微分型式的法拉第定律 t B E ∂ ∂ − = × ∇ r r ，但此公式僅適用在靜止的物體或座標系 統。 請對這個微分型式的公式進行必要的修正，使其適用於運動物體上。（18 分） 並解釋修正後公式中各項的物理意義。（7 分） NOTE：你必須考慮下述的運動系統（一個迴路C 以速度ur 運動的情況，在t 時迴路 在S1 處，在t +Δ t 時迴路在S2 處），並由積分型式的法拉第定律開始，推 衍你的修正推論過程。

利用HjΕrrrωμ-=×∇以及EjΗrrrωε=×∇，已知HErr,ze γ−∝，γ 為傳播常數，並且μεω 22 =k，222kh+= γ導出⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂−=yHjxEhEzzωμγ2x1⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂−=xHjyEhEzzyωμγ21⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂−=yEjxHhHzzxωεγ21⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂−=xEjyHhHzzyωεγ21（20 分）

如圖二所示，載有25 安培之無限長直線電流導線與X 軸一致，電流之方向亦為X 軸的正方向，而距導線2 m 處之XY 平面則有一個20 匝（turn）的環形線圈，若環 形線圈中心處的磁場為零，則此環形線圈上所通過電流的大小及方向應該為何？ （20 分） 圖二 b h Q 圖一 Z Q Y X b h l ρ X d =2 m I1 圖二 Y X d=2 m 1 m I1 102年公務人員特種考試警察人員考試、 102年公務人員特種考試一般警察人員考試及 102年特種考試交通事業鐵路人員考試試題 類 科： 電子工程 全一張 （背面）

一均勻平面波正向入射於兩介質介面。在第一介質中，該入射平面波電場強度（峰 對峰值）之相量表示式為 k m, / volt a e 10 E y jkz - = r 為相位常數： 設第一介質之介電常數為ε0，第二介質之介電常數為9 ε0，兩區之介磁常數均為 μ0。請將穿透至第二介質區平面波之電場強度用（峰對峰值）相量表示法表示出 來。（8 分） 承上子題，請將穿透至第二介質區平面波之磁場強度用（峰對峰值）瞬時表示法 表示出來。（8 分） 承第一子題，求穿透至第二區對時間平均之功率密度（含大小與方向）。（8 分） 承第一子題，求出在第一區形成駐波之駐波比。（4 分） 若傳輸線有損耗，其衰減常數為0.01 NP/m，請問此值相當於每公尺衰減多少dB？ （2 分）

針對一條長30 公分的同軸纜線，內外導體間的填充材料之相對介電係數εr = 4。 請問一電磁信號在此一纜線中傳播時所經歷的時間延遲td 為多少？（7 分） 對頻率為10 MHz 的電磁信號，此一時間延遲的效應是否可以被忽略？請說明理 由。（9 分） 對頻率為1000 MHz 的電磁信號，此一時間延遲的效應是否可以被忽略？請說明 理由。（9 分） ur = velocity of circuit C Closed surface S = S0+S1+S2 t uΔ r S S0 S2 S1 C ) , ( t r B r r 2ˆn ) , ( t t r B Δ + r r 0ˆn 1ˆn

xy 平面上有一半徑為b 的圓形迴路，攜帶電流I，且圓心為座標軸的原點，計算（0，0，b）的磁通量密度Br為何？（20 分）

試證明電感器（Inductor）的電感係數（Inductance）可以下式表示：（10 分） ) H ( 2I Hd B L ∫ ν ⋅ =

以一增益值為1.76 dBi 之天線接收空間（介電及介磁係數分別為ε0 及μ0）中均勻分 布電場強度為2(v/m)之10 GHz 電磁波訊號，天線之輸入阻抗為50 Ω，此天線連接 至一阻抗為50 Ω之負載，請問負載接收功率為何？（10 分）

一條無損耗的傳輸線負載的阻抗為LZ ，所量測出來的駐波比為4。假設第一個電壓極小值位於負載前10cm 處，兩個電壓極小值間的距離為40cm，則負載端之反射係數Γ=? （10 分）負載阻抗LZ =? （10 分）

傳播於非磁性介質（nonmagnetic）中的平面波之電場E 為： ) m / v ( ) x 2.0 t 10 cos( 4 a ) x 2.0 t 10 sin( 3 a E 7 z 7 y π − × π + π − × π = 求此平面波的頻率（frequency）和波長（wavelength）？（6 分） 此介質的介質常數（dielectric constant）為何？（7 分） 此平面波的磁場H 為何？（7 分） 六、一條特性阻抗為50(Ω)之無損耗傳輸線與一個ZL=(30－j50)(Ω)的負載阻抗連接，其 波長為8(cm)，求： 負載端的反射係數（reflection coefficient）（5 分） 此傳輸線的駐波比（standing wave ratio)（5 分） 最接近負載端的電壓極大值的位置（5 分） 最接近負載端的電流極大值的位置（5 分）

有一銅線長度為L，半徑為r，其電導率為σ假設與頻率無關： 計算銅線在1 GHz 及4 GHz 時表面電阻之比值。（5 分） 計算銅線在1 GHz 及4 GHz 時肌膚深度之比值。（5 分） （請由公式說明，無公式或公式不對但答案正確各給2 分）