電子工程 100 年電磁學考古題

帶正電的點電荷Q 位於內半徑為 、外半徑為 之球形介電質球殼的球心，而這 球殼的介電常數為 iR o R r ε 。求在 o i R R R < < 處： 電場強度Ev 。（10 分） 極化向量Pv 。（10 分） 電位V。（10 分）

, , 答案應註明MKS 制單位，如為向量除題目標明，否則應列出大小及方向或各分量。 一、自由空間中有一電場 ： 此一電場是否為保守場？（10 分） 求在正方體0 m / V )] 1 /( 1[

如圖一所示之部分填充平行板電容器。平板之面積為S，兩端加上V0之電位差，填 充介質之介電常數為ε。 此平行板電容器之電容值為何？（5 分） 上金屬板所受到之電力為何？（10 分） d d1 0 ε ε 0 V d1 d 圖一 部分填充之平行板電容器

以數學推導方式，說明一電容率（permittivity）非均勻（nonuniform）之完美介質 中，柏松方程式（Poisson’s equation）可表示為 。（10 分） ρ ε ε − = ∇ ⋅ ∇ + ∇ V V

一圓形迴路半徑為b，載有電流I，此圓形迴路在xy 平面上且其圓心在座標之原點， 試求z 軸上某點 ) ,0,0 ( z P B 處磁通密度v 。（20 分）

x x + = a E ≤ z y ≤ x 內之總電荷。（10 分） 二、一沿z 軸之直流電I (A)，其流動範圍為 2 / Δz z ≤ ，假設 z r Δ > > ，求算在位置r 之 向量磁位（vector potential）A(r)。（10 分） 磁通密度B(r)。（10 分）

設電荷q 均勻分布於半徑r 之球面上，此球以一直徑為中心軸，以ω 角速度作迴轉 運動，求此球具有之磁矩。（15 分）

假設兩無窮大完美導體平板（平板厚度為零）間填充一非均勻之完美介質，若兩 平板分別位於 0 = x 與 d x = ，介質電容率滿足方程式 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − = d x x 4 1 / ) ( 0 ε ε ，計算兩 平板間之電位分布與單位面積之電容值。（20 分） 二、一無窮長圓柱形導體之半徑為a，若圓柱形導體內有一圓柱形之空洞（半徑為b）， 附圖為該圓柱形導體之剖面圖，由圖中可知圓柱形導體之軸與圓柱形空洞之軸間距 為d。假設圓柱形導體剖面存在均勻且朝正軸方向之電流，若剖面之電流密度為 ，計算空洞軸上之磁場。（15 分） a b d x y z J a J = z 0

線性極化之均勻平面電磁波在海水中沿+z 方向傳播，在z = 0 處，電場強度為 (V/m)。海水之本構參數為 x a E v v = ) 10 cos( 100 7 t π r ε = 72， r μ = 1 及σ = 4 (A/V．m)。 求波阻抗（wave impedance）η。（10 分） 求集膚深度（skin depth）δ。（10 分）

自由空間中之二無源（source-free）旋度方程式分別為 t t t ∂ −∂ = × ∇ /) , ( ) , ( r B r E ， t t t∂ ∂ = × ∇ /) , ( ) , ( r D r H 。 推導出H(r,t)之波動方程式。（10 分） 試證 ) cos( ) , ( 0 H t x = a r H 0 0 z t − ε μ 滿足波動方程式。（5 分） 在一無源區域內，是否仍能存在不為零之電磁波？說明理由。（5 分）

頻率為f 之TEM 電磁波在某良導體中傳播，該良導體之導電係數為σ、導磁係數為μ、 介電常數為ε。 試求該TEM 波之集膚深度（skin depth）。（10 分） 試求該TEM 波之本質阻抗（intrinsic impedance）。（10 分）

如圖所示，真空中一無窮長之導線上有靜電流（steady current）I，計算通過導線附 近長方形線圈（長為a，寬為b）之磁通量。（15 分） a b d I z

在50Ω無失真傳輸線上的衰減常數為 3 10 15 .1 − × (Np/m)，傳輸線電容為0.1(nF/m)。 求傳輸線上每公尺之電阻。（10 分） 求傳輸線上每公尺之電感。（10 分） 求傳輸線上每公尺之電導。（10 分）

假定自由空間有一頻率為900 兆赫之磁場 0 m / A ) 4 3 ( ) ( 0 ≥ + = + − x y x j y x y x e H β β β ， a a H ： 求βx及βy，須註明其單位。（10 分） 當此波碰到一位於xz平面之完美電導體時，反射之磁場Hr為何？（10 分）

以空氣填充之矩型金屬波導，尺寸為： 3cm cm 6 × = ×b a 。 試寫下前四個模態（modes），及其對應之截止頻率fc（cutoff frequency）。（15 分） 若此波導僅允許單模操作，試求頻帶之範圍為何？（5 分）

利用時域馬克斯威爾方程式（Maxwell’s equations）：推導無源（source free）之真 空環境中電磁波電場所滿足之波動方程式。（10 分）若將題之真空環境取代為有 損（lossy）介質，假設介質之導電係數（conductivity）與電容率為常數，又 0 μ μ = 。 推導該介質中電磁波磁場所滿足之波動方程式（註：∇ ）。 （10 分） A A A 2 ) ( ∇ − ⋅ ∇ ∇ = × ∇ × 100年公務人員高等考試三級考試試題 類 科： 電子工程 全一張 （背面） Z

一平面波入射位於 的介面。假設入射電場為 0 = z z j x j i z x e E y E β β + − = 0 ˆ ，反射電場為 z j x j z x e RE y Er β β − − = ˆ 0 ，折射電場為 z j x j z x e TE y Et β′ −β + = ˆ 0 ，其中介質(1)的介電係數為 ， 導磁係數為μ1，介質(2)的介電係數為 導磁係數為μ C 1 2。 ， C 2 試推導入射、反射、折射磁場的x 分量。（10 分） 請列出 x β 、 z β 、 z β′三者間的關係。（5 分） 試從位於 的邊界條件推導出反射係數R 及折射係數T 的表達式。（10 分） 0 = z z x （μ1, ） C 1 （μ2, ） C 2 i H Hr iE (1) (2) Er t H tE

一無損傳輸線之特徵阻抗為50 歐姆，接到一負載ZL，若已知駐波比是2，且在負載 處之反射係數為負實數，則： 負載在史密斯圖的橫座標及縱座標為何？（5 分） 假若遠離負載移動一距離0.1 m，其反射係數相位逐漸減為-90°，求該處之輸入 阻抗。（10 分） 承第題，若已知頻率是900 MHz，求此傳輸線之波速。（5 分）

如圖二所示之兩個共面矩型迴路，若 ，試求此系統之互感。（15 分） d w h h > > >> 2 2 1 1h 2 h 1 w 2 w d 圖二 兩個共面矩型迴路 100年公務人員特種考試一般警察人員考試、 100年公務人員特種考試警察人員考試及 100年特種考試交通事業鐵路人員考試試題 類 科： 電子工程 全一張 （背面） 六、如圖三所示，利用兩根並聯之四分之一波長傳輸線與50Ω傳輸線阻抗匹配，兩根並 聯傳輸線之特性阻抗分別為Z1與Z2，負載阻抗分別為R1＝10Ω與R2＝40Ω。若經由 50Ω傳輸線饋入至Z1與Z2傳輸線之功率比為P1：P2＝2：1，試求Z1與Z2分別為多少歐 姆？（15 分） 0 50 Z = Ω / 4 λ / 4 λ 1 Z 2 Z 1 10 R = Ω 2 40 R = Ω 圖三 利用兩根並聯之四分之一波長傳輸線與50Ω傳輸線阻抗匹配

附圖為一負載端（load end）開路之無損耗傳輸線，若此傳輸線之長度為四分之一波 長，特徵阻抗（characteristic impedance）為 ，傳播常數（propagation constant） 為 0 β 。求解：傳輸線上之電壓與電流相量（phasor）；（12 分）畫出傳輸線上 電壓與電流大小之變化曲線。（8 分） Z0 ± z Z0, β λ/4 V0∠0º