電子工程 94 年電磁學考古題

一均勻帶電圓盤、半徑為R，其面電荷密度為σ，試求該圓盤邊緣上任意一點P的 電位。（10 分） 若欲將電量q 均勻分佈於一半徑為R 的圓盤表面，試問需作多少功。（10 分）

令向量F ρ= y ax ρ + zx ay ρ + x az ρ ，求： F ρ沿一小正方形之線積分，此正方形位於xy 平面上，以原點為中心，邊長為b 且平行於座標軸，積分沿逆時鐘分向。令答案是f (b)。（5 分） 求 0 blim → f

請寫出連續方程式（Continuity equation），並推導之。（5 分） 在一自由空間中，有一半徑為R、充滿電荷的圓球，在t = 0 時，其電荷平均分佈 於球體內，電荷密度為ρ0，球體之介電常數為ε、導電率為σ，請利用連續方程式 計算出圓球內部任何一點處之電荷密度隨時間的變化。（15 分）

一同心球電容器，內外球殼之半徑分別為a及b，兩球殼之間沿著直徑（最大圓）分 割，一半充填電容率（permittivity）為 0 ε 的介質，另一半充填電容率為ε 的介質， 試問此系統之電容應為若干？（20 分）

b / (b) ，稱此極限值為R。（5 分） 前部份小正方形之法向量方向是z 方向，如果改變小正方形的方向，那一法向量 方向可使極限值R 有最大負值？（5 分） 此一最大負極限值為何？（5 分） 二、一同軸導線，其內導體半徑為a，外導體半徑為b，填充介質之介電常數為εr。計算 此同軸導線內外導體間之 單位長度電容值。（10 分） 單位長度電感值。（10 分）

有一條同軸導線，其內導體半徑為a，外導體半徑為b，內外導體間之介電常數為ε ，導磁係數為µ，請計算：（每小題10 分，共20 分） 此導線內外導體間之單位長度電容。 此導線內外導體間之單位長度電感。

二平行金屬板分別位於 z y −平面及 a x = 平面，在二平行金屬板間，有一具 z E 分量 的TM 波，設 z Ε 不是y 的函數，且滿足波動方程式 0 2 2 2 = + z z z E k dx E d 式中 0 0 2 2 2 ε µ ω + = r kz ，r 為傳播常數，試求出截止波長，又與 z E 對應的場分量： x E 、 y E 、 x H 、 y H 又為若干？（20 分）

均勻平面波E ρ= γ − e E ax 0 ρ 傳播於一介電係數ε、導磁係數µ 及導電係數σ 之物質。若此 波之角頻率是ω Z 由馬克斯威爾方程式求其色散關係。（10 分） 若σ ωε，求此波之相位常數。（10 分）

請計算一磁偶極（半徑為a，電流為I）於其中心軸上之磁場強度。（20 分）

一傳輸線由兩條相互平行，半徑均為a 、且各攜帶方向相反的電流I 的長直導線組 成，該兩長直導線相距d ，d ＞＞a，試計算此傳輸線單位長度的總電感（inductance） （提示：先求出兩長直導線的自感（self-inductance）及互感（mutual inductance） ，再求出總電感）。（20 分）

介質（µo, εo）及（2µo, εo）分別位於z＜0 及z＞0，若一均勻平面波自z＜0 入射，求 何種極化波會有全穿透現象？（5 分） 發生全穿透時之入射角。（5 分） 發生全穿透時之折射角。（5 分） 是否存在臨界角？若是，求算此一角度。（5 分）

一特性阻抗為50 歐姆之傳輸線，接上一未知負載後，其上之駐波比為1.5，而離負 載端10 公分及30 公分處分別出現第一個及第二個電壓最低點，請計算反射係數及 負載阻抗值。（20 分）

一線偏振波電場的兩個分量為 ( ) ° − − = 30 cos

一傳輸線之特徵阻抗為50Ω，填充非鐵磁性物質之介電常數為4，設其操作頻 率為300 MHz 若負載阻抗為ZL = 30－j 40Ω，其駐波比為何？（10 分） 求電流之最小值發生在距負載最近之位置。（10 分）

一電偶極天線之遠場電場表示式為： θ θ = θ = θ sin E ˆ ˆ E E 0 r , 其中E0 為一常數，請計算天線之指向性，並繪出此天線之E 平面及H 平面之輻射 場型（radiation pattern）。（20 分）

kz t Ex ω 及 ( ) ° − − = 30 cos 8 kz t E y ω ，試 將它分解成兩個振幅相等，旋向相反的圓偏振波。（20 分）