電子工程 109 年通訊系統考古題

  ，其中M 為 ( ) x t 之 最大值） 4 c c ˆ (t) A ( ( ) cos(ω t)- ( ) sin(ω t)) s x t x t  （ˆ( ) ( ) x t x t 為 之希爾伯特轉換（Hilbert transform）） 5 c 0 (t) A cos(ω t+d ( ) ) t s x y dy   （d 為常數） 上面五個訊號，對應到如下所示的五個調變： 單旁帶／載波抑制調幅（Single-Sideband/Suppressed Carrier AM）， 雙旁帶／載波抑制調幅（Double-Sideband/Suppressed Carrier AM）， 雙旁帶／完全載波調幅（Double-Sideband/Full Carrier AM）， 調頻（frequency modulation）， 調相（phase modulation）。 請指出它們是如何作對應（五個對應全部答對才有得分）。（4 分） 五種調變中，那一個所需使用的頻寬（bandwidth）最小？（3 分） 五種調變中，那一個的解調（demodulation）電路最簡單？它所付出的 代價為何？（4 分） 如果 0 ( ) cos(ω t) x t  ，那麼ˆ( ) x t =？（3 分） 如果 0 ( ) sin(ω t) x t  ，那麼ˆ( ) x t =？（3 分） 考慮一個二元調變（binary modulation）機制，在其中資料位元（data bit） 0 與1 分別以如下所示的s0(t)與s1(t)訊號來對應： 0 0 1 1

( ) E cos(2 ), 0 2 ( ) E cos(2 ), 0 b b s t f t t T T s t f t t T T       其中T 為位元時長（bit duration）。在此假設訊號的傳輸通道為加成式高 斯白雜訊（AWGN）通道，其中雜訊的雙邊功率頻譜密度（two-sided power spectral density）為 0 2 N （換言之，單邊功率頻譜密度（single-sided power spectral density）為N0）。 此調變機制屬於下列選項其中的那一個：BPSK（binary phase shift keying），BFSK（binary frequency shift keying），BASK（binary amplitude shift keying）？（3 分） 請畫出此調變機制的同調解調（coherent demodulation）器。（7 分） 為達到同調解調時， 0( ) s t 與 1( ) s t 兩個訊號之間的正交性 （orthogonality），f0 與f1 兩個頻率有一個最小間隔之限制，請問此最小 頻率間隔值為何？（答案請以Eb、T、f0、f1、N0 等參數表示之）（5 分） 請寫出此同調解調器所對應的位元錯誤率（bit error rate）。答案請以 co-error 或類似函數（例如Q，erf 或erfc 等）與Eb、T、f0、f1、N0 等 參數表示之。（5 分） 針對無線（wireless）傳輸通道，時常以如下的數學模型來描述： r(t) g s(t) n(t)    ，其中s(t)、r(t)、n(t)與g 分別為傳送訊號（transmitted signal）、接收訊號（received signal）、雜訊（noise）與衰減因子（fading factor）。有一個常見的作法是把g當作萊利（Rayleigh）隨機變數（random variable），並且用這樣子的方式來產生： 2 2 g= X +Y ，其中X 和Y 是平 均值（mean）為0、方差（variance）為 2 、兩者獨立（independent）的 高斯（Gaussian）隨機變數。 請寫出X 的機率密度函數（probability density function）。（3 分） 請寫出g 的機率密度函數。（5 分） 若是 1 2  ，那麼E(g2)=？（E(g2)表示g2 的期望值（expectation）） （4 分） 有一個資訊源（information source），它會傳送出去的訊符（symbol），包括 有xk, k =1, 2,…, 7 等7 種，而且傳送xk的機率為pk。假設pk的數值如下所 示： 1

p 32  、 2 1 p 32  、 3 5 p 32  、

2 p 32  、

10 p 32  、

4 p 32  、

7 p 32  。 請計算此資訊源的熵值（entropy）。請將熵值的衡量單位以位元（bits） 來表示－也就是說，當你作相關的對數計算時，請以2 為底。（7 分） 附註：你可能會需要這些數值： 2 log (3) 1.585  、 2 log (5) 2.322  、 2 log (7) 2.807  。 請以霍夫曼編碼（Huffman coding）來對此資訊源作編碼，使其平均碼 長（average code-length）盡量小。（7 分） 經過霍夫曼編碼之後，此資訊源的平均碼長之數值為何？（3 分） 在本問題中將探討通訊鏈結預算之分析（link budget analysis）。假設有一 艘太空船對著地球傳送電波，傳送功率為1 瓦特；太空船的天線增益 （gain）為10 dB，在地球上做訊號接收的碟形天線之增益為50 dB；在傳 送過程中訊號衰減了180 dB。假設在接收端等效的熱雜訊（thermal noise） 之雜訊溫度（noise temperature）為絕對溫度300 K  ；以N0 代表此雜訊的 單邊功率頻譜密度（single-sided power spectral density）。 在地球上所收到的訊號之功率為何？（6 分） 請算出N0 的數值。（6 分） 附註：其中要波茲曼常數（Boltzmann’sconstant）： 23 k 1.38 10   watt-sec/K 以Eb代表在接收端所收到的一個位元之能量。若要求 0 Eb N 須達到7 dB 以 上，那麼在此通訊傳輸場景中，可以容許的最大傳輸速率為何？（6 分）