電子工程 113 年通訊系統考古題

有一隨機過程（random process） ( ) cos(2 ) c X t A f t   ，其中A 是一均值 （mean）為0、變異數（variance）為

A 的高斯分布（Gaussian-distributed） 隨機變數。假設 0 ( ) ( ) t Y t X d    ，則： 請求( ) Y t 的機率密度函數（probability density function）。（10 分） 請問( ) Y t 是否為遍歷過程（ergodic process）？為什麼？（5 分） 二、二元對稱通道（binary symmetric channel, BSC）是一種特殊的離散無記 憶通道（discrete memoryless channel），它的輸入（或傳送端）有兩個符 號 0 1 ( 0, 1) x x   ，輸出（或接收端）也有兩個符號 0 1 ( 0, 1) y y   ，而且發 送0 而接收到1 的機率與發送1 而接收到0 的機率都是p， 1 p ，其輸 入與輸出的轉移機率（transition probability）如下圖所示： 將兩個具有相同轉移機率的二元對稱通道串接（cascade）在一起，如 下圖所示： Binary Symmetric Channel 1 Binary Symmetric Channel 2 Input Output 假設傳送端傳送符號”0”的機率為 0p ， 0 1 p ，傳送符號”1”的機率為 0 1 p  ，請計算此串接通道的通道容量。（10 分） 資料經由通道傳輸時，由於通道的不理想性可能會對傳輸的資料帶來 不確定的錯誤。二元刪除通道（erasure channel）是一種具有錯誤的傳 輸通道，其輸入（或傳送端）有兩個符號(0,1) ，而輸出（或接收端） 有三個符號(0, ,1) e ，輸入與輸出的轉移機率如下圖所示： 二元刪除通道可用來模擬一簡易的廣播頻道；當傳送端發送”0”時，接 收端收到正確資料”0”的機率是1   ， 1 ，但也有機率是的可能造 成資料遺失；相同的，當傳送端發送”1”時，接收端收到正確”1”的機 率是1   ，但也有機率是的可能造成資料遺失，遺失的資料都記之 為”e”，請計算此二元刪除通道的通道容量。（10 分） 承題，關於不理想的通道效應，可用通道編碼（channel coding）將 遺失的資料正確還原回來。假設利用一個線性區塊碼（linear block code）來克服二元刪除通道所引起的傳輸錯誤，其奇偶檢查矩陣 （parity-check matrix）如下所示： 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 H             。 假設經由二元刪除通道的傳送，接收端收到(1,0, , , ,1) e e e ，其中包含三 個遺失資料”e”。請問利用該線性區塊碼是否可將遺失資料正確的還原 回來？若可，請求正確的接收資料。若否，請說明為什麼？（10 分）

假設( ) cos(2 ) ( ) c c s t A f t m t   為一雙邊帶抑制載波（doubled-sideband suppressed-carrier, DSB-SC）信號，其中 cos(2 ) c c A f t  為載波（carrier wave） 且 ( ) m t 為傳輸信號。今有一非線性平方律解調器（square-law detector）， 如下圖所示： 若傳輸信號 ( ) m t 為有限帶寬（band-limited）信號，信號的頻寬為W， 且 2 cf W  ，若利用該非線性平方律解調器來還原（recover）傳輸信號 ( ) m t ，則： 請決定該平方律解調器中之低通濾波器（low-pass filter）的截止頻率 （cutoff frequency）。（10 分） 請求平方律解調器的輸出 3( ) v t 。（5 分）

多重路徑通道的影響常發生在無線通訊系統中，因為大部分的無線通訊 系統其發射端（transmitter, TX）與接收端（receiver, RX）之間的傳播路 徑，經常是沒有直線路徑（line-of-sight, LOS）。以下是一個最基本的多 重路徑通道模型： 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) j h t a t a e t           ， 其中 1a 、 2a 為實係數（real coefficient），1、2 分別代表路徑的延遲時間， 是一個在[0,2 ] 內均勻分布（uniformly distributed）隨機相位變數（phase variable）。 請求該多重路徑通道的轉換函數（transfer function）以及該通道的功率 延遲外觀（power delay profile, PDF） 2 [ ( ) ] E h t 。（10 分） 請問該多重路徑通道是否為頻率選擇性衰減（frequency-selective fading）通道？為什麼？（5 分）

4K-QAM（或4096-QAM）是IEEE 802.11be（Wi-Fi 7）所使用的調變 （modulation）方式， 請說明何謂正交振幅調變（quadrature amplitude modulation, QAM）？ （5 分） 一般可以用調變信號的星座圖（constellation）來表示不同的數位調變 方式。在一個具有正方形星座圖（square constellations）的M-QAM 信 號調變，也就是 M 也是一個2 的指數次方（power of 2），假設 0 E 為 星座圖上的單位能量，請計算該M-QAM 信號調變的平均信號能量 （average signal energy）。現有兩種不同調變信號：4096-QAM 及1024- QAM，請比較上述兩種不同調變信號的平均信號能量（average signal energy）。若要使兩種不同調變信號達到相同的傳輸效能，請問使用 256-QAM 要提高多少dB 的平均能量？（10 分） 從星座圖上看，一個正方形星座圖的QAM 可以將其拆解成兩個對應 的脈波振幅調變（pulse-amplitude modulation, PAM）的乘積。假設在 加性高斯白雜訊（additive white Gaussian noise, AWGN）通道下，一個 L-PAM 調變的符元錯誤（symbol error）機率為Pe，可表示為： 0 1 (1 ) ( ) e E P erfc L N   ，且 2 e e P P  。 在相同的AWGN 通道下，請利用L-PAM 調變的符元錯誤機率Pe 計算 出一個正方形M-QAM 調變的符元錯誤機率。（10 分）