電子工程 113 年電磁學與電磁波考古題

一段長度為L 的均勻無損傳輸線特性阻抗為Z0，傳播常數為 j    ，其中 β為相位常數。一個頻率為f 的正弦電壓源V0與傳輸線的輸入端（z = 0） 連接，傳輸線的末端（z = L）連接一負載阻抗ZL。請回答下列問題： 請寫出傳輸線上電壓V(z)與電流I(z)的數學表達式，以及負載端（z = L） 的電壓與電流數學表達式。（6 分） 若負載阻抗ZL = （即開路），求負載端的電壓波反射係數和輸入端 （z = 0）的輸入阻抗Zin。（6 分） 證明在情況下，輸入阻抗Zin 與傳輸線長度L 之間滿足 Zin = 0 cot( ) jZ L   的關係式。（6 分） 解釋中關係式的物理意義。（7 分）

本題探討利用馬克斯威爾方程組推導自由空間中的電場波動方程式，以 及其求解的過程，最後計算出其傳播波速。 請利用馬克斯威爾方程組（如以下提示）推導電磁波電場在自由空間 中的波動方程式。（10 分） 在一維平面波的假設，亦即 ˆ ( , ) x E xE z t   ，請化簡中的波動方程式。 （5 分） 驗證函數 ( ) x E pt qz  是中波動方程式的解，只要兩個參數的比值p q 滿足某一特定關係式（亦即波速），並求出波速的數學表示式。（10 分） 〔提示〕： ･馬克斯威爾方程組： 0 E    （在自由空間無電荷） B E t      0 B    0 0 E B t        ε ･向量恆等式： 2 ( ) ( ) A A A      

本題考慮在均勻磁場中的電流導線與電流迴路所受的磁力與磁力矩問題。 一段長度L 且載有穩定電流I 的導線，假設該導線置於均勻磁場B  中， 已知導線上微量長度dl 所受的微量磁力可表示如下： m dF Idl B      請推導出導線所受的總磁力 m F  數學式。（3 分） 如圖一所示，一個邊長為L 的正方形電流迴路（電流為I）置於均勻 磁場 0 ˆ B B y   中。請計算左、右兩段導線（AD與BC）所受的磁力，並 證明其大小相等且方向相反。（8 分） 繼續子題，請計算上、下兩段導線（CD與AB）所受的磁力，再計 算這四段導線所受磁力的合力與合力矩。（14 分） 〔提示〕：力矩的公式 r F      圖一 0 ˆ B y

考慮純量場 ( ) G E    ，其中是任意可微分之純量場，且 2 0   （稱 為調和函數）；又E 是靜電場，滿足 0 E    。假設某一區域V 是邊長 為a 的立方體，該立方體的邊界外表面為S，且假設邊界S 上電位為 零，請計算純量場G 在區域V 的體積分值 V G dv  。（25 分） 〔說明〕：必須利用以下散度定理和電磁學基本定律等進行推導與計算， 否則不予計分。 ･散度定理： V S Adv A ds         ･電場與電位的關係：E    ･靜電場滿足高斯定律： 0 0 E       （設區域V 內無電荷） ･向量恆等式： ( ) E E E           2 ( )         