電子工程 111 年通訊系統考古題

考慮一個隨機程序（random process） 0 ( ) cos(2 ) x t f t    A ，其中A與 為獨立（independent）隨機變數（random variable），是一個在[0,2 ]  內均勻分布的隨機相位變數， 0f 是一個固定頻率。 請計算並說明( ) x t 為何是一個廣義穩態（WSS）的隨機程序。（7 分） 將( ) x t 輸入一個線性非時變（LTI）系統且此系統的脈衝響應（impulse response）為h(t)，請計算輸出的期望值為何？（3 分）

有一類比調變（analog modulation）訊號( ) ( ) ( ) x t m t c t  ，其中 ( ) m t 代表訊 息訊號（message signal），( ) cos(2 ) c t A f t   c c 代表載波訊號（carrier signal）。此外 ( ) M f 是 ( ) m t 之傅立葉轉換（Fourier transform），( ) X f 是( ) x t 之傅立葉轉換，ˆ( ) m t 是 ( ) m t 之希爾伯特轉換（Hilbert transform）， ˆ ( ) ( )( )sgn( ) M f M f j f   是ˆ( ) m t 之傅立葉轉換。 請利用Ac 、fc與 ( ) M f 來表示 ( ) X f 。（4 分） 如果( ) s t 之傅立葉轉換為     1 1 4 4 c c c c A M f f M f f A                 sgn sgn c c c c M f f f f M f f f f         ， 請利用 ( ) m t 與ˆ( ) m t 來表示( ) s t ，同時請寫出( ) s t 的調變名稱。（6 分）

考慮一個8-ary 脈衝振幅調變（pulse amplitude modulation），若在一 個符號（symbol）時間為T 的區間，接收訊號為( ) ( ) ( ) y t xp t n t   ，其中 x( -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 2 2 2 2 2 2 2 2 d, d, d, d, d, d, d, d )是傳送符號振幅且有相同的傳送 機率，( ) p t 代表時間長度為T 且能量為1 的傳送波形，( ) n t 代表白高斯 雜訊（white Gaussian noise）。 若( ) p t 為方波（rectangular pulse），請計算其振幅與零點到零點頻寬 （null-to-null bandwidth）。（5 分） 請計算此調變之平均訊號能量。（5 分） 若傳送x -7 2 d 產生的符號錯誤機率為h，請計算平均符號錯誤機率。 （10 分）

若使用一個時間長度為符號時間長的方波來傳送兩種調變訊號（M-QAM 與正交（orthogonal）同調（coherent）M-FSK）至中心頻率為600 MHz 的射頻通道。 若位元率（bit rate）為24 Mbps，當 16 M  時，請計算以上兩種調變 需要的零點到零點頻寬。（7 分） 以在可加性白高斯雜訊（AWGN）通道之符號錯誤機率的表現來考量， 請將8-FSK, 64-QAM 與64-FSK 依序從最好到最差排列。（3 分） 若改採用一個衰減因子（roll-off factor）為0.2 的升餘弦濾波器（raised cosine filter）來傳送，若要達到位元率為24 Mbps，請計算16-QAM 需 要的射頻通道頻寬。（5 分）

考慮自由空間傳播模型（free space propagation model ）， 0 0 0 ( ) ( ) , n r r d P d P d d d d         ，其中 ( ) rP d 是與傳送端距離為d 的接收功率， 0d 是參考距離（reference distance），n 是路徑損失指數（path loss exponent）。此外以 ( ) PL d 代表在距離為d 的路徑損失（path loss）， ( ) PL d 代表在距離為d 的平均路徑損失。 請推導出 ( ) PL d (dB)與 0 ( ) PL d (dB)的關係式。（5 分）  ( ) PL d (dB)通常表示為對數常態陰影（log-normal shadowing）模型，請 寫出此方程式並說明。（5 分） j m 2 j m  1 j m 

下圖為一摺積編碼器（convolutional encoder），其中 j m 為目前輸入位元， 為modulo-2 加法，其狀態（state）由（ 1 2 , j j m m  ）表示，初始狀態為 （0,0），輸出位元依序先上後下來輸出。 請繪出其狀態圖（state diagram）。（5 分） 若輸入位元為（110100…），請計算輸出位元。（5 分） 若接收位元為（111110010111…），請繪出格狀圖（trellis diagram），使 用以漢明距離（Hamming distance）考量的維特比演算法（Viterbi algorithm），求出解碼後的輸入位元。（10 分）

在一輛速度為54 km/hr 的車上，一個位元率為100 kbps 的BPSK 訊號被 傳送至中心頻率為6 GHz 的射頻通道。 請計算最大都普勒偏移（Doppler shift）。（5 分） 請說明此為快速衰減（fast fading）還是緩慢衰減（slow fading）？ （5 分） 請說明在何條件下會形成平坦衰減（flat fading）？（5 分）