電子工程 111 年工程數學考古題

求解y''+y' −2y = ൜3 sin t −cos t, 0< t < 2π 3 sin 2t −cos 2t , t > 2π ; y(0)=1，y'(0)=0。 其中y' dy dt ; y'' d2y dt2 。（30 分）

0(1)ii以逆時針方向繞一圈走回到原出發點的曲線。請計算下列兩個積分的結果。（每小題6 分，共12 分）Γ z zd ？Γ1 zz d ？本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案。1假設A 與B 為維度相同之方陣（square matrix）且,,A B AB均為可逆（invertible）矩陣，則下列何者不一定為可逆矩陣？ (A)TA B (B)IAB (C)1IA B (D)1IAB

110

設矩陣A= ቂ1 2

假設矩陣10

൩已知此矩陣的特徵值（eigen-value）為2、2（重根）、1。請寫出A矩陣的所有特徵向量（eigen-vector）的一般形式。（5 分）令B=A8。請寫出B矩陣的所有特徵向量的一般形式。（5 分）34770四、有一個半徑為1 的圓形標靶，對著它亂射飛鏢，完全不瞄準，所以彈著點（亦即飛鏢在標靶上的落點）會是在某一個區域的機率大小，與標靶上的位置無關，只與該區域的面積大小成正比。若只考慮有射中標靶的飛鏢，直接忽略沒有射中標靶的飛鏢。令X 代表彈著點到靶心（亦即標靶的正中心）的距離，是一個隨機變數（random variable），並定義另外一個隨機變數：Y≜X2，試問：令fX(x)代表X 的機率密度函數（probability density function），則fX(x)=？（5 分）令fY(x)代表Y 的機率密度函數，則fY(x)=？（5 分）五、有一個複變函數f(z)=1z2+4，欲對其作曲線積分（contour integration），請回答下列問題：考慮如下所示的曲線：C1：|z|=3（即以複數平面原點為中心、半徑為3 的圓），從z=3+0⋅i（i=√−1）逆時針旋轉繞一圈回到原出發點。試問∮f(z)dzC1=？（5 分）考慮如下所示的曲線：C2：|z −i|=2（即以0+1⋅i為中心、半徑為2 的圓），從z=0+( 1) i（i=√−1）逆時針旋轉繞一圈回到原出發點。試問∮f(z)dzC2=？（5 分）本試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當答案。1我們準備對1, 1,3（）以及2,0, 4（）這兩個向量做外積（cross product ）。如果將答案寫成1, 1,32,0, 4a,b,c（）（）（），那麼ab c=？ (A)30 (B)80 (C)100 (D)1502考慮一線性方程組Axb，A 為m n矩陣，mn。下列敘述何者錯誤？ (A)該方程組可能無解 (B)該方程組可能只有一解 (C)該方程組不可能有無窮多解 (D)矩陣A 的列階梯形矩陣（row echelon form）一定有「零」列（row of all zeros）3如果用來代表1,3,2（）與0, 1,4（）這兩個向量之夾角，那麼2sin ？請選出最接近的數值： (A)0.9 (B)0.7 (C)0.5 (D)0.3

226073A，1302

假設我們已知1,2,3（）、1,0, 1（）以及3,1,（）這三個向量無法構成3 ( , , ) | , ,x y zx y z的基底（basis）。那麼，α= ？ (A)12 (B)13 (C)1 (D)1234770

1 1 1 1ቃ，求矩陣B 使得AB= ቂ1 0 0 1ቃ。（25 分） 三、R3 空間中，一曲線C 之參數表示式如下： x = cos t，y = sin t，z = t 3 ；其中−4π ≤t ≤4π。 求曲線C之長度（length of curve C）。（10分） 四、設C 為複數平面上|z|=1 之圓，逆時針方向，求下列積分值：  ൫z+1൯sinz (2zି1)2 dz。（10 分）  cos z z7 dz 。（5 分）

1

考慮如下所示之矩陣：13A21。下列敘述何者正確？ (A)A 為可逆（invertible）的矩陣 (B)A 為既約列梯形（reduced row echelon form）的矩陣 (C)A 為單位矩陣（identity matrix） (D)A 為對稱（symmetric）的矩陣

設W=(aX+3Y )2，其中X 和Y 為隨機變數（random variable），已知： ⑴X 和Y 的期望值均為0，亦即E[X]=E[Y]=0； ⑵X 和Y 的變異數（variance）分別為σX 2 = 4，σY 2 =16； ⑶X 和Y 之相關係數（correlation coefficient）ρXY = −0.25。 求a，使得E[W]（E[W]：W的期望值）達到最小。（15 分） 承上，求最小值之E[W]。（5 分） ර C ර C

22B，則行列式值1det 2TA B為何？ (A)1217 (B)1217 (C)4817 (D)48173若201013110BBP為從3R 的基底B 轉換至基底(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)B之轉移矩陣（transitionmatrix），則B ？ (A)(3,2,2),(2,1,0),(4,4,1) (B)(3,4,2),(2,1,2),(2,0,1) (C)(3,1,2),(1,2,1),(4,1,4) (D)(3,2,1),(1,2,0),(2,1,0)4下列那一個矩陣無法被對角化（diagonalizable）？ (A)401210201 (B)010001251 (C)401030102 (D)102000204371205下列那一組3R 中之向量基於歐幾里得內積（Euclidean inner product）可作為規格化正交基底（orthonormal basis）？ (A)11,0,22，111,,333，11,0,22 (B)1 1 1,,5 5 5，1 1,,02 2，1 12,,3 33 (C)111,,333，11,,022 (D)22 1,,33 3，2 12,,3 33，1 2 2,,3 3 3

如下所示之選項中，何者為矩陣231121132的特徵向量（characteristic vector，亦稱eigenvector）？（選項中的符號T…代表矩陣轉置（transpose）的動作。提示：建議你直接套用特徵向量的定義下去做檢測） (A)011T (B)101T (C)0 01T (D)101T

設T 是3R 到2R 的線性轉換，13020T，04100T，00011T，3a2b1T，下列何者正確？ (A)ab8 (B)ab10 (C)ab10 (D)ab8

考慮一馬可夫過程（Markov process ）：0.80.3(1)( )0.20.7x kx k，其狀態向量x 之初值(0)1000Tx。請問lim ( )xx k為何？ (A)8020T (B)3070T (C)6040T (D)5050T

矩陣2224242162414A的LU 分解（LU decomposition），可化為2224024300102x，x ？ (A)x1 (B)x2 (C)x3 (D)x4

在下列四個選項所顯示的複變函數（complex function），其中有三個是可解析的（analytic，亦稱differentiable（可微分的）），有一個是不可解析的（not analytic）。請指出那一個是不可解析的？ (A)ez (B)z3 (C)z (D)z （z 的共軛複數）

設和為矩陣1220A之特徵值（eigenvalues），則？ (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

考慮如下所示之複變函數：23326i752if(z)1 2z(5i) zzzzz（i =1）。如果我們將該函數在z = 0 （亦即複數平面上的原點）的留數（residue）寫成a + b i的形式，那麼a + b ？ (A)2 (B)0 (C)3 (D)2π

定義1i ，若zabi為2(62 ) +1760zi zi之一解，且0ab ，則22?ab (A)13 (B)15 (C)18 (D)20

在本題中我們考慮複變函數的線積分（line integral）。首先我們知道複數平面上的點可以寫成z = x + i y（i =1）的形式，接著我們用代表2y = x 這條曲線，而且其起點為(x, y) = (0,0) 、終點為(x, y) = (1,1) 。請計算2z dz並且將結果寫成a + b i的形式，此時a b的數值與下列選項何者最為接近？ (A)5 (B)1 (C)1 (D)5

定義1i ，複變數zxiy與其共軛複數zxiy。下列那一個複變函數為完整（entire），即在整個複數平面皆為可解析（analytic）？ (A)( )f zizz (B)22( )2f zxyi xy (C)( )(cossin )xf zeyiy (D)( )f zz

令222( )()Csszdsszg，其中路徑積分之路徑C 為以2, 2i為頂點之正方形的邊界，行經方向為正。請問(1)g之值為何？ (A)2 i (B)1 (C)0 (D)4 i

複變級數0()nnnzin之收斂半徑（radius of convergence）為何？1i  (A)1 (B) (C)0 (D)1237120

有一個雙變數函數2f(x, y)xsin(x y)。請問f(x, y) 在1,（）的梯度（gradient）為何？ (A)1,（） (B),1（） (C), 1（） (D)1,（）

計算zdz？其中軌跡( )itte, 0t。1i  (A)i (B)i (C)2 i (D)2 i

考慮微分方程式：( )( )( )sin,0y ty ty tt t，其中y與y分別代表y 對變數t 做一次與二次微分。請問下列敘述何者正確？ (A)對於某些(0), (0)yy（）初值，方程式的解會收斂到零 (B)對於任何非零之(0), (0)yy（）初值，方程式的解是一個頻率為之週期函數 (C)對於任何非零之(0), (0)yy（）初值，方程式的解之震幅不會隨輸入函數之頻率產生變化 (D)對於任何非零之(0), (0)yy（）初值，方程式的解會隨時間之增大而收斂到一個週期函數34770

一階常微分方程式'3x yeyx，下列何者為正確的解答？dyydx (A)31yxeexc，其中c 為常數 (B)32yxeexc，其中c 為常數 (C)31yxeexc，其中c 為常數 (D)32yxeexc，其中c 為常數

考慮一個初始值問題（initial-value problem）__微分方程：x2y (x) + x y (x) +y(x) = x +1e，初始條件：y(0) = 2 、y (0) =1。如果我們將本問題的解答y(x) 寫成幂級數（power series）的形式：n0y(x) =axnn，那麼，2a ？（提示：可以嘗試用泰勒級數（Taylor series）的形式去做思考，直接將2a 與y (0)做連結） (A)1 (B)12 (C)0 (D)13

二階微分方程式2 '' 9' 240,11,' 110x yxyyyy，設6543abcdyxxxx為其解，下列何者正確？22,dyd yyydxdx (A)a1 (B)b1 (C)c2 (D)d4

下列關於拉普拉斯轉換（Laplace transformation）0( ):( )steL ff tdt之敘述，何者錯誤？ (A)()( )( )L fgL fL g (B)111()( )( )LfgLfLg，其中1L為L 之逆轉換 (C)()( ) ( )L fgL f L g (D)()( )L fs L f，其中f 為f 之導函數，且(0) = 0f

反拉普拉斯轉換（inverse Laplace transform）1223(a cosbsincd)2221tssetttssssL，a, b, c, d 為常數，則： (A)abcd3 (B)abcd4 (C)abcd3 (D)abcd4

考慮以下函數：( ) = 1f t，當02t；( ) = 0f t，當0t 或2t 。下列敘述何者正確？ (A)函數( )f t 之傅立葉轉換（Fourier transform）為( ) = 2sin( ) /jFe (B)函數( ):(1)g tf t之傅立葉轉換（Fourier transform）為( ) = cos( ) /G  (C)函數0( ):= cos() ( )h tt f t之傅立葉轉換（Fourier transform）為00( ) = 2sin() / ()H  (D)函數( ) :=()m tft之傅立葉轉換（Fourier transform）為( ) =sin( ) /M 

假設121( )(1)f ts sL，其中1L 為反拉普拉斯轉換（inverse Laplace transform），下列何者正確？ (A)(0)1f (B)(0)1f (C)(1)1f (D)(1)1f

考慮一隨機變數x，其機率密度分布函數具有下列形式：( ) =1,1f xxx，且( ) = 0,1f xx 。請問x 之變異數（variance）為何？ (A)1/6 (B)2/ 3 (C)1/ 6 (D)2 / 3

定義傅立葉轉換( )( )i xFf x edx，令5, 33( )0,33xf xxx或，( )F ？1i  (A)6 sin)(5 (B)6 cos)(5 (C)10 sin)(3 (D)10 cos)(3

有兩個連續的隨機變數X 與Y，它們的合併機率密度函數（joint probability density function）為：2,if 0 <<1and 0 <<1f( , )0,otherwiseXYA x yxyx y其中A 為常數。請問隨機變數X 的期望值（expectation）為下列何者？ (A)12 (B)23 (C)34 (D)45

若X 為一連續均勻分布（uniformly distributed）在區間(0, 20) 之隨機變數，可計算得知10X 之機率為a，12X 之機率為b，816X之機率為c，則abc？ (A)1110 (B)65 (C)1310 (D)75

假設我們有一個不公平（unfair）的銅板，在每次投擲中出現正面的機率為0.4，出現反面的機率為0.6。如果我們丟擲這個銅板5 次，結果出現正面比出現反面還更多次的機率為何？（請在下列選項中選出最接近答案的數值。） (A)0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4

將一副正常的撲克牌（52 張牌包含四種花色：黑桃、方塊、紅心、梅花，每種花色各13 張牌，ACE 為各花色點數1 的牌）隨機均分為4 疊，每疊各13 張牌。這四疊牌每疊恰好包含一張ACE牌的機率為何？ (A)113 (B)9272550 (C)7832450 (D)219720825

請問i2i 的主值（principal value）為何？ (A)0 (B)i (C)ie  (D)e 

設X 和Y 為連續隨機變數，其聯合機率密度函數（joint probability density function ）,2,01( , )0,X Yyxfx y其他，令WY/X，期望值()E W？ (A)1/2 (B)1 (C)3/2 (D)2