電子工程 108 年工程數學考古題

若 r r z y x r   = = , ) , , ( ，試求：（每小題5 分，共15 分）  = ∇r ？  = ⋅ ∇r ？  = × ∇ r ？

xxxc ec xex e++的二次微分方程式，其中1c及2c 為任意常數。（10 分）二、求週期為2T 的函數，cos(/),0( )0,2x TxTf xTxTπ≤<= ≤<,且f(x+2T) = f(x)拉普拉斯轉換（Laplace transform）。（15 分）三、若cos(32)iaib+=+，求a 及b。（5 分）四、求(2)(4 )zdzzziγ+−∫，其中γ為|| 5z =的圓。（10 分）五、121422A−−= 及

求 ) ( 2 2 10 1 ) , , ( T z x e y z y x + − = 在 ) 0 , 10 ,0 ( P 點往 )1,1,1( = a 之方向導數 （directional derivative）。（10 分）

27B= −，求x ，使得||||AxB−最小（least squaresolution）。（10 分）本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。1令u = i-j-k；v = -3i+4j+6k；w = -2i-4j+2k，則由u，v 及w 所形成的平行立方體（parallelepiped）體積為何？ (A)9 (B)9 2 (C)18 (D)18 2341702111A021223−=−−−，試問3Rx∀∈，TTAxxx x 之最大值為何？ (A)1 (B)2 (C)3 (D)43令矩陣51010105205510−=−−−A，001110abc= P，且1−=P APD，其中D 為一3 3× 對角矩陣（diagonalmatrix），下列敘述何者正確？ (A)5abc++= (B)

試求下列複變數圍線積分（順時鐘方向）：（每小題10 分，共20 分） ∮C cot z dz =？其中C 為單位圓。 ∮C z3-6 2z-i dz =？其中C 為單位圓。

abc× ×= (C)0abc−−= (D)1a bc×=4已知A 為mn×矩陣且rank(A)=r，下列敘述何者正確？ (A)Ax=0 的解空間（solution space）維度（dimension）為mr− (B)若m=n=r 且x 為1n× 未知矩陣，則Ax=0 存在唯一解 (C)若m=n=r，則A 的列向量（row vector）彼此間都是線性相依（linear independent） (D)若m>n>r，則A 的列向量（row vector）彼此間都是線性獨立（linear dependent）

說明下列微分方程式分別為多少階（order）多少次（degree）。（15 分）  8 3 2 + =     x dx dy  0 2 3 = −     x ln y dx dy x  1 6 2 2 = + dx dy dx y d e y

求矩陣130310002A= −有幾個線性獨立之特徵向量？ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

求解微分方程式 0 ) sin cos 2 ( 2 = − dy y dx y e x ，y(0) = 0。（10 分）

0213A−= ，令2 2Ai jea×= ，則1122aa+= ？ (A)2ee− (B)2ee+ (C)2ee−+ (D)22ee−

利用拉式轉換（Laplace Transform）解以下微分方程式，求出y(t)。（15 分） 0 9 2 2 = + + y dt dy dt y d , 16 .0 ) 0 ( = y , 0 ) 0 ( = dt dy

下列何者為14( 64)−的複數根？ (A)1 i−− (B)2i−− (C)12i−− (D)22i−−

使用傅立葉級數表示以下週期性函數，其中P（週期）= 4。（15 分）    < < < < − − < < − = 2 1 ,0 1 1 ,6 1 2 ,0 ) ( x x x x f

()ln 13i−=？ (A)223inππ+−+，其中n 為任意整數 (B)226inππ+−+，其中n 為任意整數 (C)2223inππ++，其中n 為任意整數 (D)5226inππ++，其中n 為任意整數

求2z dzϕ∫，沿著路徑titϕ = +，02t≤≤積分之值： (A)32 (1)3 i − (B)16 (1)3 i − (C)8 (1)3 i − (D)4 (1)3 i −

假設1(z)fz=，求( )C f z dz∫之值，C 為21z −= 之逆時針之圓周。 (A)0 (B)2 iπ (C)2 iπ− (D)4 iπ

假設12axbxcxk ek ee++為微分方程式683 xyyye′′′−+=的解，則abc++為何？ (A)-6 (B)-4 (C)7 (D)934170

假設路徑C 是一逆時針的正方形，其各邊位於直線2x = ± 和2y = ± 之上。試求出()2ziCedzzπ−−∫值為何？ (A)2π (B)π (C)iπ− (D)1

給定一組微分方程式12212,1.010.2xxxxx′′= −=−，起始值為12(0)0,(0)1xx== −，則2lim( )tx t→+∞= ？ (A)-1 (B)0 (C)1 (D)無窮大

令()221( )1sF sss+=+，試求F(s)之反拉普拉斯轉換（inverse Laplace transform）{}1( )( )f tLF s−=？ (A)1 sin( )cos( ),t0tt−+> (B)sin( )cos( ),t0ttt+−> (C)1sin( )cos( ),t0ttt+ −−> (D)1sin( )cos( ),t0ttt+ ++>

下列何者為偏微分方程式224uuxy∂∂=∂∂的解？以下12,,c c α 為常數。 (A)12( , )cos 2sin 2KKu x yc exc exαα=+，其中2Ka y= (B)12( , )cosh 2sinh 2KKu x yc exc exαα=+，其中2Ka y= (C)12( , )cos 2sin 2TTu x yc eyc eyαα=+，其中2Ta x= (D)12( , )cosh 2sinh 2TTu x yc eyc eyαα=+，其中2Ta x=

求2111sss−+之反拉普拉斯轉換為下列何者？ (A)-t2t2e−+ + (B)-t2t2e−−+ (C)-t2t2e−+ − (D)-t2t2e−−−

已知函數x(t) 其傅立葉轉換為()( )j tX jx t edtωω∞−−∞= ∫且()2( (3)(3))X juuωωω=+−−，3()2X jωωπ= −+，其中方程式( )1,0( )0,0uuωωωω=≥=<，請問t 為下列何者時，x(t)=0？ (A)12π+ (B)12π+ (C)323π+ (D)24π+

一個盒子中有30 顆IC，劣品比率為1/6，在某次實驗中取了10 顆IC，試問此次實驗所用的IC都是良品的機率為何？ (A)2280103010C CC (B)5250103010C CC (C)6240103010C CC (D)10200103010C CC

給定一個連續隨機變數X，其機率密度函數為/414,0( )0,elsewherexexf x−>= ，試問一個隨機變數32YX=−，則此隨機變數Y 的變異數（variance）2Yσ 為何？ (A)18 (B)36 (C)64 (D)144

設有一連續隨機變數X 具有機率密度函數2 ,01( )0,xxf x≤≤= 其他，求其期望值。 (A)1 (B)2/3 (C)3/4 (D)4/5