化學工程 103 年物理化學考古題

請解釋Hamiltonian ( Hˆ )的物理意義，說明 Schrödinger equation ( Ψ = ∂ Ψ ∂ H t i ˆ h )的 物理意義及重要性。（10 分）

考慮氫燃料電池的半電池（half-cell）反應如下： （Anode）H2 → 2H+ + 2e- （Cathode）2 1O2 + 2H+ + 2e- → H2O 如果此氫燃料電池在25°C 和1 bar 環境中，以氫氣及空氣為反應物，產物為水蒸 氣。在25°C 和1 bar 下，水蒸氣的標準生成熱為ΔH°f298 = -241818 J⋅mol-1、 ΔG°f298 = -228572 J⋅mol-1；法拉第常數（Faraday constant，F）= 96485 C/mol。 請估算此氫燃料電池的最大電動勢（electromotive force，縮寫為emf），並詳述你 用到的所有假設。（20 分）

請證明理想氣體的內能U，與壓力P 及莫耳體積V 無關，僅為溫度T 的函數。（15 分）

如果有一個理想的燃氣渦輪發動機（Gas-turbine engine），以一莫耳的理想氣體為 工作流體進行布雷頓循環（Brayton cycle），敘述如下： 第一步驟：工作流體由狀態A 可逆絕熱壓縮（reversible adiabatic compression）到 狀態B。通常，狀態A 的壓力為大氣壓力。 第二步驟：工作流體由狀態B 等壓吸熱到狀態C。 第三步驟：工作流體由狀態C 等熵膨脹（isentropic expansion）到狀態D，以產生熱功。 第四步驟：工作流體由狀態D 等壓冷卻回到狀態A。 ㈠請在壓力（P）─體積（V）的相圖上，描繪出此布雷頓循環（Brayton cycle）。（5 分） ㈡請計算此燃氣渦輪發動機的最佳熱效率（η），並以引擎內各步驟的壓力比來表示。 （15 分）

有1g 的 Ra 226 88 （鐳），每秒放射出3.7×1010 個α 粒子（Alpha particle），α 衰變成 Rn 222 86 （氡）。如果鐳的衰變速率恰好正比於系統中的鐳原子核數，在800 年後， 請問此系統中鐳的α 衰變速率成為多少?（15 分） 六、二氧化碳（CO2）在低於三相點溫度（-56.2℃）的狀態下，它的蒸氣壓（PV，單位 為bar）可以表示為絕對溫度（T，單位為K）的函數： T PV 16 ) ln( − = 。已知二 氧化碳的熔化潛熱ΔHfusion = 1990 cal/mol，請計算液態二氧化碳在300K 時的蒸氣 壓。請詳列你所用到的假設。（20 分）

一個粒子在一維空間（長度為L）的運動，以薛丁格方程式描述 n n E n H ˆ ，其 中 2 2 2 2 8 ˆ dx d m h H ，m 為粒子質量，h 為普朗克常數。此問題的通解為 L x n L n sin 2 。計算粒子能夠存在的能階En，並說明量子數n 的最小值為何。 （10 分）

鎳（Ni）與鈷（Co）的標準電極電位分別為： Ni2+ + 2e- Ni E0 = -0.257 V Co2+ + 2e- Co E0 = -0.280 V 寫出電池Co|Co2+||Ni2+|Ni 的反應方程式，並計算電池Co|Co2+||Ni2+|Ni 在[Ni2+]=0.01 M 與[Co2+]=1.0 M 時的電動勢。此時鎳電極進行氧化還是還原反應？（10 分） → k1 ← k2