化學工程 96 年物理化學考古題

薛丁格方程式（Schrödinger equation）是量子力學的基本方程式。根據所推導出的 時間無關薛丁格方程式（time independent Schrödinger equation），知道它含有能量 的操作子（H），系統的波函數（Ψ），和系統的能量（E），而表示如下： ㈠應用時間無關薛丁格方程式來探討當一個粒子質量M 被局限在有限長度L 的 一維度空間的系統，稱為“在一維盒子中的一個粒子”（a particle in 1-D box）系 統。請寫出“在一維盒子中的一個粒子”系統的薛丁格方程式。（5 分） ㈡根據所寫出的 “在一維盒子中的一個粒子” 系統的薛丁格方程式，請推導出這個 薛丁格方程式的能量與波函數的解。（10 分） ㈢請解釋說明為何 “在一維盒子中的一個粒子” 系統的薛丁格方程式的能量與波函 數解已經被量化（quantized）。（5 分） ㈣請利用 “在一維盒子中的一個粒子” 系統與H2C=CHCH=CH2 分子中的π電子的 相似性來預測H2C=CHCH=CH2 分子中所有π電子（或是形成雙鍵電子）的能階 與其相關的波函數。（10 分）

根據觀察瞭解當一個熱隔絕（thermally isolated）系統的狀態由系統外做功而改變時 ，改變狀態所需要功的大小與所做功的方式無關。這個觀察讓科學家去定義了所謂 的熱隔絕系統的內能U（internal energy），並且提出下列論述：即假如一個熱隔絕 的系統由系統外做功W，而從某一個狀態變成另一個狀態，那麼這熱隔絕系統的內 能U 將改變而增加△U。 ㈠請根據熱力學第一定律，寫出熱隔絕系統內能守恆相關數學方程式。（5 分） ㈡對一個熱隔絕系統（內部含有理想氣體分子），進行一個定溫可逆過程 （reversible process）體積壓縮（V1 to V2）的做功，請寫出熱隔絕系統內能改變 的數學方程式。（10 分） ㈢對一個熱隔絕系統（內部含有理想氣體分子），進行一個定溫不可逆過 程（irreversible process）體積壓縮（V1 to V2）的做功，請說明解釋這不可逆過 程體積壓縮做的功與可逆過程體積壓縮做的功之大小關係。（5 分） HΨ = EΨ 96年特種考試地方政府公務人員考試試題 類 科： 化學工程

可逆卡諾循環的物理過程是下面步驟的重複執行： 絕熱壓縮⇒等溫膨脹⇒絕熱膨脹⇒等溫壓縮⇒絕熱壓縮（重複） ㈠請利用P（壓力）-V（體積）圖形來繪出整個可逆卡諾循環的過程。（10 分） ㈡請利用以上的P-V 圖形，配合相當的溫度，來推導出卡諾熱機的效率（efficiency）。 （5 分） ㈢請根據可逆卡諾循環的過程與卡諾熱機的效率，來陳述熱力學第二定律。（10 分）

碳14 是碳12 的同位素，具有放射性所以會衰變，並且有固定的半生命期（5760 年）。 由於存活植物會持續的透過光合作用和環境交換碳，因此其體內固定的碳14 含量 可以一直的維持，也就是有生命的植物會以每分鐘做15.3 碳14 的衰變。但是一旦 植物死亡後，其體內固定的碳14 含量會因為無法透過光合作用和環境交換碳，所 以死亡植物中碳14 的含量會因為放射性衰變而隨時間減少。 ㈠根據以上的說明請簡述碳14 年代測定法的原理。（10 分） ㈡根據簡述的原理請列舉那些可能造成碳14 年代測定法誤差的原因。（5 分） ㈢考慮一件木頭化石正以每分鐘做2.4 碳14 的衰變，請計算該木頭化石的年代。 （10 分）

解釋名詞：（每小題8 分，共24 分） ㈠超臨界流體 ㈡阿倫尼亞氏方程式（Arrhenius equation） ㈢海森堡測不準原理（Heisenberg uncertainty principle）