化學工程 99 年程序控制考古題

某化工程序可由下列轉移函數（transfer function）來表示： )1 3 )( 1

( 2 4 ) ( ) ( ) ( + + + − = = s s s s U s Y s G 式中Y(s)與U(s)分別代表y(t)與u(t)之Laplace 變換。當輸入函數u(t)為 4 4 0 0 0

0 ) ( ≥ < < ≤ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = t t t t u 試推導輸出函數y(t)在時域（time domain）之表示式。（15 分） 二、現有一攪拌槽加熱程序，其動態模型可表為 Q T T wC dt dT C V i + − = ) ( ρ 式中Ti 為進口流溫度，T 為出口流與攪拌槽的溫度，Q 代表加熱器之加熱速率。程 序設計條件為 10 /) ( = w Vρ min 、 05 .0 ) /( 1 = wC ℃min/kcal ，給定穩態（nominal steady-state）值為 80 = T ℃、 60 = iT ℃。圖1 為應用比例控制於該加熱程序之方塊圖， 圖中訊號皆以偏差變數表示。溫度傳輸器（transmitter）之量測幅度（span）為50℃， 零點（zero）為50℃；電子儀表之標準電流範圍為4~20 mA；溫度傳輸器與致動器 （actuator）之動態皆可忽略，其增益分別為Km 與Ka；控制器之增益（Kc）為3.1。 當設定點從80℃增至90℃，攪拌槽溫度T 最終達到88℃的新穩態值。 加熱程序之轉移函數 ) ( /) ( s ' Q s ' T 為何？（8 分） 傳輸器增益Km 為何？（5 分） 溫度輸出之偏移量（offset）為何？（4 分） 致動器增益Ka 為何？（8 分） 當最終穩態達成且無Ti 擾動變化，加熱速率 ) (∞ Q 之值（非偏差量）為何？（5 分） ) ( ~ s Tsp' ) (s Tsp' ) (s Q' ) (s T' ) (s P' ) (s E 1 2 + s K τ a K c K m K [mA] [mA] [℃] [kcal/min] [mA] [℃] ) (s Tm' [mA] m K 圖1 99年專門職業及技術人員高等考試建築師、技師 考試暨普通考試不動產經紀人、記帳士考試試題 類 科： 化學工程技師 全一張 （背面） 三、考慮圖2 所示之串級控制系統，其中Gp(s)為不穩定程序，Gc1(s)為比例積分控制器： ) 1 1( ) ( , 3 1 ) ( 1 1 s K s G s s G I c c p τ + = − = 利用內迴路之Kc2 將程序Gp(s)穩定化，試求Kc2 對內迴路之穩定範圍。（10 分） 將Kc2 設為6，決定外迴路控制器Kc1 和 I τ 之值，使得串級控制系統的兩個閉迴路 極點（設定點Ysp(s)至程序輸出Y(s)之closed-loop 轉移函數的pole）皆為-2。 （10 分） Gp Gc1 Kc2 圖2

考慮程序轉移函數模型為 1 10 2 ) ( 2 + = − s e s G s 利用直接合成（direct synthesis）法來設計可實現之回饋控制器 ，使得閉迴 路轉移函數滿足 ) (s Gc )1 2 /( ) 1 /( ) ( /) ( 2 + = + = − s e G G G G s Y s Y s c c sp 。（10 分） 採用Taylor 展開來近似時延項 s e s 2 1 2 − ≈ − ，依據子題結果導出比例積分控制器 之比例增益Kc 和積分時間 I τ 。（5 分） 利用Padé 近似來處理時延項可得 ) 1 /( ) 1( 2 s s e s + − ≈ − ，試計算比例控制系統之極限 增益Kcu 與極限週期Pu，再依據Ziegler-Nichols 調諧法則（ cu c K K 45 .0 = 、 2.1 / u I P = τ ）來決定比例積分控制器的參數。（10 分）

等比率（equal percentage）控制閥之輸出流率 F q 與輸入壓力 具有下列關係： v p 12 3 ) 20 ( 03 .0 2.0 − + = v p F q F q 之給定穩態值為 = F q 0.5 m3/min， 之改變範圍為3~15 psig。當輸入壓力發生步 階（step）變化後，控制閥約需1 min（5 倍時間常數）才能達到新的穩態位置。試 將上述關係式線性化並導出控制閥之轉移函數模型 v p )1 /( ) ( + = s K s G v v v τ 。（10 分）