化學工程 110 年程序控制考古題

考慮在圖一的閃蒸槽（flash drum）。z(t)、x(t)與y(t)分別為進料（F）、 液體（L）物料流、與蒸氣（V）物料流，其揮發性最高物種的莫耳分 率。槽中累積的液體與蒸氣的總質量、溫度、與壓力可全部假設為常 數不變。若假設離開閃蒸槽的蒸氣與液體已達到平衡，下列y(t)與x(t) 間的關係式可建立： y(t)= a x(t) 1+(a - 1)x(t) 圖一 穩定狀態與其他的程序資訊如下： M = 500 kmoles; F = 10 kmoles/s; L = 5 kmoles/s; = 2.5; x (0) = 0.4 推導線性化之微分方程式（linearized differential equation），以建立 出口液體組成(x(t))與進料組成(z(t))間的動態關係。（10 分） 提示：y(t)與x(t)間的非線性關係，經線性化（linearization）後，可 近似為以下的線性關係： y(t)ݕത+ / [1 +(－1)ݔ̅]2(x(t)－ݔ̅)= ݕത+ a(x(t)－ݔ̅) 其中a = / [1 +(－1)ݔ̅]2，而ݔ̅ = 0.4（在原有的穩態操作條件下， x(t=0)= ݔ̅ = 0.4）。 推導出口液體組成〔x(t)〕與進料組成〔z(t)〕間的轉移函數X(s)/Z(s)。 將此轉換函數改寫成具穩態增益（steady-state gain）及時間常數 （time constant）的標準型式。（5 分） 求算在轉移函數中，所有參數及常數的數值。（5 分） 若進料組成(z)在t=0 時，產生0.1 單位的步階變化（step change）， 即z = 0.1，試問出口液體組成x(t)的最後穩態值為何？（5 分）

試推導以下的轉移函數，C(s)/R(s)與C(s)/L(s)。 C(s)/R(s)（10 分） C(s)/R(s)與C(s)/L(s)（15 分）

有關氣體流動控制迴路（gas flow control loop）設計的問題： 一個流動控制迴路，係由與控制閥（control valve）串連的一個小孔計 （orifice）、一個微分壓力傳遞器（differential pressure transmitter）、及 一個控制器（controller）所組成，擬用於輸送公稱程序流率（nominal process flow）為180,000 scfh（standard cubic feet per hour，標準立方 英呎/小時）的空氣而設計。閥的進口條件為100 psig 與60oF，而出 口壓力為80 psig。閥的流動特性為線性，傳遞器內建有一個平方根處 理器，以使得輸出訊號和流量呈線性關係。閥的時間常數為0.06 min， 而傳遞器的時間常數則可忽略。一個比例積分（PI）控制器則用來控 制流量。儀器裝置的示意圖，如圖二所示。 圖二 儀器裝置示意圖 試計算閥容量因子（valve capacity factor）Cv 及閥的增益值（gain）。 試以100%超容量（overcapacity）設計閥的大小（size），並假設Cf=0.9 （Masoneilan 公司）。假設壓力不隨流量而改變，且控制閥為失效關 （fail-closed）。 參考表一之Masoneilan 公司的閥目錄，指出應採用多少英吋（inch） 大小的閥，其相對應的Cv,max（以gpm/psi1/2 為單位）為何，及根據 此數值所計算的閥增益值Kv（以scfh/%CO 為單位）為何？（%CO 代表%Controller Output，控制器輸出百分比）（10 分） 提示：Masoneilan 公司所採用之氣體或蒸氣流量（在1 atm，60 oF 的 標準條件下，以ft3/hr 為單位）如下： fs = 836Cv Cf p1/(GT)1/2(y – 0.148 y3) (1) 其中 fs = 氣體流量，以scfh 為單位（scfh = ft3/hr, 是在1 atm, 60 oF 的標準 條件下） G = 相對於空氣的氣體比重，可以氣體的分子量除以29（空氣的平 均分子量）得之。 T = 閥進口處的溫度， oR(= oF + 460) Cf = 臨界流動因子。此因子的數值在0.6 與0.95 間 p1 = 閥進口處的壓力，psia fs 計算公式中的y，表示其對流動的可壓縮因子，定義如下 y = 1.63/Cf (pv/p1)1/2 其中 pv = p1 – p2, 通過閥前後的壓力降落，psi p2 = 閥出口處的壓力，psia 表一 Masoneilan 公司的閥目錄示例 Valve size （閥尺寸， inch） Orifice diameter （小孔計直徑， inch） Percent of travel （行程百分比） Rated Cv（校正後 的Cv值） 0.75 0.812 100 12 1 0.812 100 12 1.5 1.25 100 25 2 1.625 100 46 3 2.625 100 110

3.5 100 195 6

100 400 8 6.25 100 640 若傳遞器是在0 至250,000 scfh 的流量範圍進行校正，試計算傳遞 器的增益值KT（以%TO/scfh 為單位）。（%TO 代表%Transmitter Output，傳遞器輸出百分比）（5 分） 試繪製流量控制迴路的塊解圖（block diagram），示出控制器、控制 閥、和流量傳遞器的特定之轉移函數。（10 分） 四、圖三為真空過濾裝置。此程序是廢棄物處理廠的一部分。污泥 （sludge）以約5%的固體含量進入過濾機。在真空過濾機中，污泥被 除水至約25%固體含量。在旋轉過濾機中的污泥可過濾性，視其進入 過濾機時的pH 值而定。控制污泥進入焚化爐（incinerator）的水分的 一種方法是在污泥進料中添加化學試劑（氯化鐵ferric chloride）以維 持必需的pH 值。圖三中的水分傳遞器（moisture transmitter, MT）的 測量範圍為55 至95%。 圖三 真空過濾裝置 下列水分含量（moisture, %）數據是由一項以+12.5%CO 控制器 （MIC70）的輸出（controller output, CO）之步階測試（step test）所獲 得： Time, min Moisture, % Time, min Moisture, % 0 75.0 10.5 70.9 1 75.0 11.5 70.3 1.5 75.0 13.5 69.3 2.5 75.0 15.5 68.6 3.5 74.9 17.5 68.0 4.5 74.6 19.5 67.6 5.5 74.3 21.5 67.4 6.5 73.6 25.5 67.1 7.5 73.0 29.5 67.0 8.5 72.3 33.5 67.0 9.5 71.6 當進入過濾機的水分含量改變0.5%時，獲得的水分含量數據如下： Time, min Moisture, % Time, min Moisture, % 0 75 11 75.9 1 75 12 76.1 2 75 13 76.2 3 75 14 76.3 4 75.0 15 76.4 5 75.0 17 76.6

75.1 19 76.7

75.3 21 76.8

75.4 25 76.9 9 75.6 29 77.0 10 75.7 33 77.0 繪製這個水分控制迴路的塊解圖（block diagram），將可能的擾動 變數（disturbances）列入。（5 分） 以一階時延（first-order-plus-dead-time）的擬合法3（fit 3）模型， 來估算兩個轉移函數中的參數。重新繪製塊解圖，示出每一個方塊 的轉移函數。（10 分） 出口水分（output moisture）的可控制性（controllability）如何，請 說明。控制器的正確驅動（controller action）為何？（5 分） 試決定最小IAE（integral of the absolute value of the error, ∫|e(t)|dt ¥ 0 ） 應答為準則之比例控制器（proportional controller）的增益值（gain）。 計算在入口水分（inlet moisture）改變1%下的偏值（offset）。（5 分） 提示： 針對比例控制器的擾動輸入，以minimum IAE 為準則的控制器調 控公式如下： Kc = 0.902/K(t0/)-0.985。 一階時延（first-order-plus-dead-time, FOPDT）的擬合法3(fit 3)模型 如下： C(s) = K e-t0s/(s +1) m/s 上式中的2 個模型參數and t0，可用下列方程式求出： = 3/2(t2－t1), and t0 = t2－, 其中 t1 =在C = 0.283 cs 的時間 t2 =在C = 0.632 cs 的時間 cs = c(t)的穩態改變量 m =輸入訊號的步階變化