測量製圖 108 年測量平差法考古題

已知一個點位坐標X、Y 的變方-協變方矩陣如下： Σ= ቈσX

已知觀測向量 的方差-協方差矩陣為 ， 試求L 的函數 [ T L z y x = ] ∑ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = LL

σXY σXY σY 2 ቉= ቈ0.0019 -0.0008 -0.0008 0.0009 ቉(cm2)， 試問需要將坐標軸旋轉多少角度，方可使得參考於新坐標軸的坐標相關 係數為零？（旋轉角度必須註明順時針或逆時針旋轉。旋轉的角度值計 算到度，度以下四捨五入）（25 分） 二、有一條件平差模型如下： v1-v3+v4=w1 v2-v3+v5=w2 其中v1~v5 是觀測量改正數，其權矩陣為P，而w1、w2為不符值。試將 該條件平差模型化為間接觀測平差模型（GMM 平差模型），但不必求 解。（25 分）

0 2 0 4 0 2 0 6 2 1 2 z x F + = 在x=12、z=14 時的協方差 FF ∑ 。（25 分） 二、A、B 為地面上兩點，以直接水準測量方法，經由三條不同路線測量A 與B 之高程差，有關觀測數據如下表所示；試求A 與B 間高程差之加 權平均值及其標準差。（25 分） A 與B 間高程差的觀測數據表 路線 A、B 間高程差觀測值（m） 路線長（km） 1 +2.612 1.61 2 +2.608 3.22

變形監測時，常使用不同時期的觀測數據來進行自由網平差。假設測量 網形不變，使用相同點位（含參考基準點），點位起始坐標值也相同。 今有兩期的觀測數據各自進行自由網平差，但兩期的參考基準點不同。 試說明如何以這兩期的自由網平差成果來判斷是否有變形發生。（25 分）

+2.624 4.83 三、有一塊矩形土地在1/2000 地圖上，測量得其長（X）、寬（Y）及其標準 差分別為 、 mm cm X 6 50 ± = mm cm Y 6 30 ± = ，又用求積儀量得該土地 的面積為 。試以最小二乘法間接觀測平差法，求 該矩形土地的實際面積及其標準差。（25 分） 2 mm 2 60 1535 cm Z ± = m 35 . 6861 = x m 59 . 3727 = y )

兩組測量人員分別觀測同一個角度n1次和n2次（n1、n2均大於30），由此 估計得到觀測標準差分別為σො1和σො2，角度平均值分別為xො1和xො2。假設觀 測量服從常態分配，且各觀測量等權獨立不相關，請列出虛無假設和對 立假設、檢定的統計量，以及檢定程序以說明如何檢定這兩組測量人員 觀測精度的優劣，以及檢定兩者的角度平均值是否相同。（25分）

下圖所示為一個測角的前方交會問題，圖中A、B、C 為已知點（單位：m）， P 為待定點；4 個角度為等權觀測，P 點的近似坐標為 、 。經過線性化的觀測方程式為JX=K+V： 0 P ⎤ ⎡ 1 Lv 0 P ⎡ 507 .4 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ′′ − ′′ − ′′ − ′′ − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − − = 4 3 2 ,

23 . 20 9 68 .0 4 21 .0 8 23 .0 , , 788 . 27 732 . 25 713 . 40 447 . 15 713 . 40 447 . 15 800 . 33 L L L P P v v v V K dy dx X J 試以最小二乘法間接觀測平差法，求P 點的坐標平差值( P P y x , 及其標 準差。（25 分） A B C P 角1 角2 角3 角4 x y 測角的前方交會示意圖