測量製圖 108 年測量平差法概要考古題

已知標準差σU = 2、σV = 1 和σUV = ‐1。隨機變數U、V 和X、Y 的關係為 ቂX Yቃ= ൤U -V V U൨ቂA Bቃ， 其中A=3 和B=‐2。試求隨機變數X、Y、U、V 的變方-協變方矩陣。（25 分）

假設觀測向量為 ，其方差- 協方差矩陣為 ，試求觀測量x、y 及z 的標準差及其協方差 [ T z y x X = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ] ⎡ 0.0 1.0 - 4.0 ∑ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ = XX 5.0 2.0 0.0 2.0 2.0 1.0 - xy σ 、 xz σ 及 yz σ 。（25 分）

假設誤差服從常態分配，若95%信賴區間的極限誤差為20 公分，試求 50%信賴區間的或然誤差。（25 分）

有一矩形宗地長（L）、寬（W）的觀測數據如下表所示，試求該矩形之 面積及其標準差。（25 分） 矩形宗地之長、寬觀測數據表 長（L） 寬（W） 觀測次數 5 4 觀測量（m） 248.47 120.46 248.58 120.53 248.52 120.43 248.41 120.55 248.49

有一測量驗收規定：「驗收標準：建置方（乙方）測量所得的點位位置 與驗收方（丙方）測量所得的點位位置之較差不得超過下列限制：較差 均方根誤差10 公分，最大較差20 公分。丙方須驗收5%以上的點位， 其中95%的點位位置要通過前述的驗收標準，乙方的建置成果方為合 格」。今乙方共建置了1900 個點。丙方隨機抽驗其中110 個點，並提供 了下面這些資料：110 個點中的10 個點的位置較差介於8 至10 公分之 間，95 個點的位置較差介於10 至20 公分之間，其餘5 個點的位置較差 均超過20 公分。試分析丙方所提供的驗收資料是否合於前述規定，以 及據此是否可知乙方通過驗收？（25 分）

已知3 點的觀測數據，如下表所示。若欲用此3 點的數據擬合拋物線方 程式y = ax2+b。表中之y 為觀測值，假設其間互不相關而且是等權。試 以最小二乘法間接觀測平差法，求參數a、b 及其標準差。（25 分） 已知3 點的觀測數據表 點號 A B C x 1 2 3 y 7.50 20.50 42.00

以下列數據迴歸一條直線y = a x + b，其中y 為觀測值，x 為已知值： x 8 10 ‐5 ‐15 y 10.65 10.67 10.35 10.20 假設所有觀測量等權獨立不相關，試以最小二乘法估計參數a、b 和其 標準差。又參數a 是否為有效參數？請具體說明之。（可能的統計門檻值： z0.05=1.64，z0.025=1.96，t2,0.05= 2.92，t2,0.025= 4.303，t4,0.05= 2.132，t4,0.025= 2.776） （25 分）

有一扇形的土地（如下圖所示），測量了該扇形的圓心角θ、半徑r 及圓 弧長L；有關觀測值及觀測精度，如下表所示。試以最小二乘法間接觀 測平差法求該扇形面積及其標準差。（25 分） 扇形土地的觀測值及觀測精度表 參數 觀測值 標準差 圓心角θ 30° 6′′ ± 半徑r 38.00 m 02 .0 ± m 圓弧長L 20.00 m 02 .0 ± m 扇形土地示意圖 圓心角 半徑 圓弧長