機械工程 109 年機械力學概要考古題

長L 的懸臂梁AB 中，A 點為固定端，在B 點處用插銷（Pin）方式與長 2L 的柱子BGC 連接，其中C 點為一鉸支撐（Hinge），在G 點有滑輪作 側撐。另外，懸臂梁在B 點處亦承托著長L 簡支梁BD 在左端的滑輪， 且簡支梁在D 點承受一力矩MD。令所有桿件的楊氏係數為E 及彎曲慣 性力矩為I，柱子BGC 的斷面面積為A。若梁AB 的軸向變形可忽略不 計，試求當柱子BGC 產生挫屈（Buckling）時的最小MD（用E, A, I, L 來表示；忽略所有桿件的重量）。（20分）

如圖所示，兩個球A和B具有相等的質量並帶有靜電，因此作用在它們之 間的排斥力的大小為20 mN，並沿線AB指向。試求： 繩索AC和BC的張力角度θ；（16分） 每個球體的質量m。（4分）

如圖一所示，一個半徑r、質量m 的圓形平板懸掛於鉸支承於O 點，圓 形平板靜止時，半徑OG 與鉛垂線夾角θ = 60°。請繪出自由體圖（free body diagram）及動力圖（kinetic diagram），求解圓形平板突然釋放瞬間 的角加速度α 及鉸支承O 點的反作用力。（25 分） 圖一

一重W 的剛板由三根原長L 及斷面積A 的柱子（BC, DK, GH）支撐著， 其中BC 和DK 的楊氏係數為E，GH 的楊氏係數為2E。若要維持剛板水 平，需施垂直力P 在剛板上。試求P 與剛板中心的距離x（請用P, W, L, A, E 來表示）。（20分）

如圖所示為一組合梁之橫截面，試求： 橫截面的形心坐標位置；（10分） 橫截面對x軸的慣性矩Ix。（10分） C A B 20 mN 30° 20 mN 30° θ

一個質量m = 25 kg 的物體懸吊於一組滑輪及彈簧係數k = 800 N/m 之線 性彈簧，如圖二所示。已知物體靜止時，彈簧的初始伸長量為50 mm。 忽略滑輪與繩子之間的摩擦及彈簧質量，試求物體自靜止狀態向下移動 100 mm 的瞬間速度。重力加速度g = 9.81 m/s2。（25 分） 圖二 80760 k L x 2k , , A E  B C P L A B x y z L A B

平面面積中含一中空圓形，試求該面積的形心在x 座標軸的位置。（20分）

已知當駕駛員踩下行駛速度為10 km h ⁄ 的輕型卡車的制動器時，它會在 停止前滑動3 m。當駕駛員踩下制動器時，如果卡車以80 km h ⁄ 的速度行 駛，試求它將會在停止前滑動多遠？（20分）

如圖三所示，一根直徑d、長度為L 的實心圓柱末端固支承於剛性牆面， 另一端則以一個長度為L 之水平六角扳手施予鉛垂作用力P。半圓形面 積為 2 8 d  ，形心位置 2 (3 ) y d   。試求固定端斷面A、B 兩點處各個 不為零的應力分量，並繪於對應的立方體元素。（25 分） 圖三

一質量為1 kg 的剛球由靜止狀態從一滑坡滾下，而球離開滑坡的角度為 30° 。若不考慮摩擦及空氣阻力，並令重力加速度g=9.81m/s2。試求取剛 球落地時的水平距離x。（20分） 拋物線軌跡 θ=30°

支架上點A的應變具有分量εx = 300൫10-6൯，εy = 550൫10-6൯。假設支架之楊氏 係數（Young’s modulus）E = 250 GPa和蒲松氏比（Poisson’s ratio）ν = 0.30， 試求點A的： 應力σx和σy；（10分） 最大剪應力值τmax。（10分）

如圖四所示，一均勻斷面之彈性圓柱BC 在室溫下，兩端法蘭（flange） 被彈簧係數為k 及2k 的兩根絕熱線性彈簧固支承於剛性牆面，初始軸 力不等於零。圓柱的初始長度、斷面積、彈性常數、熱膨脹係數分別為 L、A、E、α。若圓柱受到均勻分布的溫度增量ΔT，試求圓柱BC 最終承 受的軸向力（axial force）及軸向應變（axial strain）。（25 分） 圖四

一質量為10 kg 的滑輪，其迴轉半徑（Radius of gyration）為20 cm。在滑 輪的內外半徑分別用繩連接兩重物A 和B，其中重物B 是放置在一平滑 台上，且A 及B 的質量均為5 kg。在初始靜止狀況下，若突然放開A， 試求重物A 和B 的加速度。（滑輪軸承的摩擦忽略不計；重力加速度 g=9.81m/s2。）（20分）

如圖所示，質量160×103 kg的火車從靜止開始朝向斜坡行駛。如果此時發 動機施加的牽引力F是火車重量的1 8 ⁄ 倍，則當火車沿斜坡向上行駛1 km 時，忽略滾動阻力，試求火車的速度為多少？（20分） F