統計 115 年統計學考古題

2026 年國際貨幣基金組織、世界銀行與聯合國糧食計劃署聯合聲明指 出，美伊最近在中東的衝突導致油價與化肥價格飆升，推高糧食價格， 造成全球性系統性生存危機。假設某國際組織蒐集了14 個低收入國家 在衝突前後的化肥價格（以變數X 表示，單位：美元／噸）及糧食價格 指數（以變數Y 表示）等相關數據，用以評估此危機之影響。（註：答案 數字若可整除請以小數表示，若不可整除請以分數表示） （每小題10 分，共30 分） ㈠考慮用最小平方法建立簡單直線迴歸模型 0 1 i i i Y X , 1,2,...,14 i ，假設誤差 1

14 , ,... 彼此相互獨立且服從平均數為0，變 異數為 2 之常態分配。求在 0 1 : 0 H 之下，迴歸之判定係數 （coefficient of determination） 2 R 之機率密度函數。 ㈡以14 個國家的資料及最小平方法進行估計，若以Y 為應變數、X 為自 變數作簡單直線迴歸，得ˆ 40 2 Y X ；但若以X 為應變數、Y 為自變 數作簡單直線迴歸，得ˆ 30 0.375 X Y 。針對題㈠之模型 0 1 1,2,...,14 i i i Y X i , ，請計算用以檢定迴歸模型整體顯著性 之F 檢定統計量之值。 ㈢續題㈡，若已知 14 2 1( ) 100 i i X X ，求 1ˆ的標準誤 1ˆ ( ) Var 之估計值。 二、全球低軌衛星網路已大規模部署，衛星覆蓋範圍延伸至偏遠地區與極 地，提供高速且穩定的聯網服務。某低軌衛星星座由800 枚衛星組成， 每枚衛星每日可服務隨機到達的連線請求。今工程師從營運資料中抽取 樣本，以評估覆蓋率與延遲表現。已知每枚衛星每小時接收到的連線請 求次數服從卜瓦松（Poisson）分配，其平均發生頻率為次／小時。（註： 答案數字若可整除請以小數表示，若不可整除請以分數或自然指數e 表 示）（每小題10 分，共70 分） ㈠假設過去針對某枚衛星觀測到一組連線請求間隔時間的隨機樣本 1 2 , ,..., n T T T（單位：小時），且假設 1 ( ) , 1,2,..., i E T i n 。請以隨機樣本 1 2 , ,..., n T T T ，求出該枚衛星自某時間點起，「等候下一次連線請求的時 間在30 分鐘以內」之發生機率的最大概似估計量（maximum likelihood estimator）。 ㈡已知某極地區域每日連線請求次數N 服從具有平均數為50 之Poisson 分配，另已知每次請求的資料量為彼此相互獨立，具有平均數0.2 MB 的指數分配，亦即，若令 i M 為第i 次請求連線的資料量，則 1 2 , ,... M M 為彼此相互獨立且均具有平均數0.2 MB 的指數分配。假設N 與 i M 獨 立。求該極地區域每日連線總資料量 1 N i i S M 的變異數。 ㈢衛星聯網需要與地面核心網對接。若已知有三個獨立運行的地面接收 站A、B 與C，其系統發生「封包遺失」的次數分別符合獨立的Poisson 分配，且其遺失的頻率分別為 0.3 A 次／小時、 0.2 B 次／小時及 0.5 C 次／小時。求一小時內這三個接收站合計發生至少1 次封包 遺失的機率。 ㈣續題㈢，若在某小時內已知這三個接收站合計發生3 次封包遺失，求 這3 次封包遺失全部都不是由A 接收站造成的條件機率。 ㈤某低軌衛星上裝有三個獨立運作、相互備援的訊號偵測感測器，每個 感測器的失效時間均服從平均數為6（年）的指數分布。求這三個感 測器中，「最後一個」失效時間的期望值。 ㈥續題㈤，若已知這三個感測器中，最早失效的感測器其失效時間已經 超過1 年的條件下，求它在未來1 年內就會失效的條件機率。 ㈦續題㈤，令 iZ 為第i 個感測器的失效時間，求第一個失效的感測器失 效後，偵測系統還能存活的時間的期望值 1 2

1 2 3 [ { , , } { , , }] E Max Z Z Z Min Z Z Z 。