土木工程 113 年高等工程力學考古題

已知一等向均質之彈性體具有如下式的位移函數（displacement functions），式中（u, v, w）分別代表（x, y, z）方向的位移函數，式中長 度單位為m ，代表10-6。 ( , , ) (2 ) ( , , ) ( , , ) ( ) u x y z x y v x y z z w x y z z y          請利用小變位理論（small deformation），計算彈性體中任意點位的正 向應變（normal strain） , , xx yy zz    （ ）與剪應變（shear strain） , , xy xz yz    （ ）。 （10 分） 此彈性體中有一微小立方體，其三維應力如圖所示。若此三維應力之 值如下式所示（式中單位為MPa），請計算作用於ABCD 斜面上的正 向應力（normal stress）與剪應力（shear stress）之大小。（15 分）                        18 30 0 30 36 27 0 27 36 zz zy zx yz yy yx xz xy xx          T MPa  x y z A B C D xx xy xz yy yx yz zz zy zx a a a

如圖所示為一棟二層樓剪力屋結構，圖中結構可假設為具有剛性樓板之 集中質量模型。圖中，m 為樓層質量，CG 柱長2L，其餘柱長為L，不 計樓板厚度。各柱之彈性模數E、斷面積A 與斷面慣性矩I 為常數且皆 相等。令(12EI / L3) = 2000 kN/m，質量m = 100 tons。 若令x1 與x2 分別為一樓頂板及二樓頂板相對地表之位移，請以x1 與x2 為自由度，寫出此結構系統自由振動下的矩陣運動方程式，不考慮結構 阻尼。請列明方程式中質量矩陣[M]及勁度矩陣[K]之內容。（10 分） 請以上述質量及勁度矩陣，計算此結構的第1 及第2 水平自振頻率。 （15 分）

如圖(a)所示，具均勻斷面之L 型剛性構架ABC 位於x-z 平面上，構架之 單位長度重量為60 kN/m，其支承A 與C 為球窩支承，BD 為繩索連接， D 點位於y-z 平面上。若繩索具有如圖(b)所示之雙線性力與變形（F-） 關係，請計算繩索之內力T 與其變形前之原始長度L0。令繩索降伏力 Fy= 100 kN，降伏前勁度k1=1000 kN/m，降伏後勁度k2= 0.2 k1。（25 分） 圖(a) L型剛性構架及繩索 圖(b) 繩索BD力與變形(F-)關係 m m 2L L x2 x1 A B C D E G F 0.8 m 1.1 m 1.6 m 2.4 m z y x C B A D 1.6 m T (繩索內力) (繩索變形) k1 k2 Fy

如圖所示為10 跨之桁架結構系統，a 點支承為鉸支承（hinge），k 點為 滾動支承（roller），該滾動支承可避免垂直向運動。各桿件之彈性模數 E、降伏應力y、斷面積為A、斷面慣性矩I 皆均相同。此桁架於中央處 受一集中動態簡諧載重P(t)=P0sint，其中P0 為振幅，(rad/s)為 激振頻率。請計算使桁架不發生張力降伏的最大簡諧載重振幅，以及使 桁架不發生挫屈破壞的最大簡諧載重振幅。（25 分） P(t)= P0 sint L x 10 = 10 L L a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v