機械工程 105 年工程力學考古題

如圖一所示結構為四根長度相同不計質量之桿件AE, BD, DH, EG 所組成，C 與F 為 各連接桿件之中點，且有一根不計質量之彈簧支撐於其間，各連接點均為拼接 （pinned），今於G 與H 兩點各施加一垂直力P，試求彈簧之支撐力為何結構才能平 衡？（25 分） 圖一

如圖所示，已知撞球的半徑為r，球的中心點為G。當撞球桿以水平方向撞擊該球時， 若希望擊出的球只做純滾動的運動（無滑動），請問球桿的擊球高度h（高於球心的 高度）應為多少？（20 分） h G

如圖一所示，質量為m = 5 kg 的物體置放於水平面上。已知彈簧之彈簧常數為 k = 2 kN/m，物體與水平面之摩擦係數為μ = 0.2。假設彈簧之質量可以忽略。若物體 向左移動，致使彈簧從自然長度產生x = 0.2 m 之壓縮量後，從靜止狀態釋放。試求： （每小題10 分，共20 分） 當物體向右移動2 m 之瞬間，其速度及加速度。 物體向右所能移動之最大距離S。 圖一

無重量懸臂樑AB 受分佈力作用如下圖。試繪懸臂樑AB 之自由體圖（Free Body Diagram），剪力分佈圖（Shear force diagram）及彎矩分佈圖（Bending moment diagram）。並試求最大彎矩之大小及其發生位置。（20 分）

如圖二所示重W 之物體靜置於牆壁頂端，一柔軟繩索繫於其上，繩索另一端固定於 牆邊，已知繩索材質均勻斷面積為A，楊氏係數為E，長度為L，且可完全的伸展開 來。輕推物體使其滑出牆邊而掉落，假設物體重W=0.025 AE，繩索長度L=20 m，重 力加速度值為 g=9.81 m/s2。試求： 物體掉落過程中最大速率為何？（10 分） 繩索最大伸長量為何？（10 分） 若定義繩索最大伸長量與靜態平衡伸長量比值為沖擊因子（impact factor），則其沖 擊因子為何？（5 分） 圖二 P H P G F D E C A B 105年公務人員特種考試關務人員考試、 105年公務人員特種考試身心障礙人員考試及 105年國軍上校以上軍官轉任公務人員考試試題 全一張 （背面） 考試別： 身心障礙人員考試 等 別： 三等考試 類 科： 機械工程 科 目： 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）

一個一端有支撐的懸臂樑（如圖所示），長度為L，承受到一均勻分布的荷重（其強 度為q N/m）。試以求解變形曲線（deflection curve）的二階微分方程式（亦即彎矩的 公式）來分析本題。試求以下各項： 兩端的反力與反力矩。（3 分） 該樑在全長中所承受的剪力。（必須寫出方程式，並在繪出的剪力圖中標示重點部 位的數據）（6 分） 該樑在全長中所承受的彎矩。（必須寫出方程式，並在繪出的彎矩圖中標示重點部 位的數據）（6 分） 該變形樑的斜率與變形量的方程式。（6 分） 最大變形量δmax 與其所在的位置x1（請將係數以三位有效數字的小數來表示）。 （4 分） （請接第二頁） y L MA RA RB A B q x 105年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員 考試及105年特種考試交通事業鐵路人員考試試題 全三頁 第二頁 考試別： 鐵路人員考試 等 別： 高員三級考試 類科別： 機械工程 科 目： 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）

如圖二所示，兩大小相同的均勻圓球A 及B 置放於同一水平面上，半徑為 r = 400 mm，質量分別為mA 及mB，其中mA = 2 mB。由於兩球的材質及表面構造不同， A 球與水平面的摩擦可忽略不計，B 球與水平面的滑動摩擦係數為μ = 0.2。圓球對球 心的轉動慣量I = 0.4 mr2，其中m 為圓球質量。今B 球靜置於水平面上，而A 球以 水平定速v0 朝B 球運動，與B 球產生直接對心碰撞，若此碰撞為完全彈性碰撞，且 兩球間的摩擦可忽略不計。試求：（每小題10 分，共30 分） 碰撞後瞬間，A 球及B 球之球心直線速度。 碰撞後B 球何時開始變為純滾動。 B 球變為純滾動後之角速度。 圖二 A r v0 B r 5 kg S x k 105年專門職業及技術人員高等考試建築師、 技師、第二次食品技師考試暨普通 考試不動產經紀人、記帳士考試試題 全一張 （背面） 等 別： 高等考試 類 科： 機械工程技師 科 目： 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）

x-y 座標相對於地面為固定，其原點O 為楔子Q 與方塊P 系統自靜止狀態釋放前的 重心，P 及Q 的質量同為5 kg，所有接觸均為光滑無摩擦。系統釋放後，P 沿楔子Q 斜面下滑2 m 時，試求： 方塊P 沿楔子Q 斜面方向之速度及加速度各為多少？（10 分） 楔子Q 之速度及加速度各為多少？（8 分） 楔子Q 與方塊P 系統的重心座標為何？（7 分） 試驗證系統之機械能是否守恆。（10 分） 30o Q P x y O x y L A B w = w0 sin πx 2L 105年公務人員高等考試三級考試試題 全一張 （背面） 類 科：機械工程 科 目：工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）

如圖三所示AC 柱，長度L，兩端拼接（pinned）。試推導挫曲（buckle）時的臨界 載重（critical load） 2 2 L EI Pcr π = ，並說明慣用符號E 與I 之物理或幾何意義。（15 分） 圖四為AC 柱在紙面上之彎曲變形時，中點B 處多了側向支撐，而在垂直紙面方向 之彎曲變形時，只有兩端拼接並無其他支撐，柱斷面X-X 如圖五所示為矩形斷面， 試求比值h b 應為何才能使兩方向之彎曲臨界載重相等？（10 分） 圖三 圖四 圖五

一根中空的鋼製管軸，必須能夠承受傳輸1200 N·m 的扭力，其可容許的剪應力為 τallow = 42 MPa，鋼的剪彈性模數（shear modulus of elasticity）為75 GPa。假設該中 空軸的外徑是d2，其厚度t = d2 / 10。試問： 所需的最小外徑d2 應為多少？（10 分） 若改用實心的鋼軸，其重量會比中空管軸重多少或是輕多少？（請以百分比表示） 另請解釋會這樣的原因為何？（10 分） 10 2 d t = d1 d2

如圖三所示，水平之彎曲實心圓桿ABC，半徑10 mm，包含兩垂直部分AB 及BC， 其長度分別為0.5 m 及0.3 m，A 端為固定端。圓桿之楊氏模數E = 80 GPa，剪力模 數G = 30 GPa。今在自由端C 處施加垂直荷重Py = －300 N 及水平荷重Px = 400 N， 試求： A  端之反作用力。（10 分） C  端處之向下位移 C δ 。（剪力變形可忽略不計）（15 分） 圖三

下圖鋼螺栓之螺帽在20℃時剛好輕輕旋緊在鋁套筒不受力。套筒的內外半徑分別為 4 mm 及5 mm，套筒長度為20 cm。螺栓半徑為3.5 mm。鋼與鋁的熱膨脹係數分別 為14×10-6/℃及23×10-6/℃，楊氏係數則分別為2×105 MPa 及7×104 MPa。試求當溫 度上升至120℃時： 套筒及螺栓各自所受的負載。（10 分） 套筒及螺栓各自的伸長量。（10 分）

如圖六所示半徑為r、質量為mh 之鐵環，假設鐵環厚度遠小於r 可不計，於B 點繫 上一質量為mB 之鐵塊。已知mh=2mB，鐵環於 = θ 90°時由靜止釋放，該瞬間鐵環於 地面上滾動沒有滑動。試求：鐵環與地面所需之最小靜摩擦係數為何？（15 分） 此時鐵環角加速度為何？（5 分）鐵塊之加速度為何？（5 分） 圖六 斷面X-X

如圖所示，飛機A 在一直線路徑上飛行，飛機B 則在一圓形軌跡的路徑上飛行，其 曲率半徑為 400 km。兩架飛機相距4 公里，其各自的瞬時速度與加速度都已經標示 在圖上。試問： 兩飛機的駕駛互看對方的飛機，其目視對方的速度是否大小相等、方向相反？請 輔以公式，做重點的解釋。（10 分） 兩飛機的駕駛互看對方的飛機，其目視對方的加速度是否大小相等、方向相反？ 請輔以公式，做重點的解釋。（10 分） （提示：在做解釋時，你可以不必計算出實際的數值，只要列出適當的公式來說明 即可） （請接第三頁） y' y x x' 105年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員 考試及105年特種考試交通事業鐵路人員考試試題 全三頁 第三頁 考試別： 鐵路人員考試 等 別： 高員三級考試 類科別： 機械工程 科 目： 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） （請接背面）

考慮如圖四(i)所示之梁ABCDE，楊氏模數E = 200 GPa。斷面為梯形，其尺寸如 圖四(ii)所示，單位為mm。試求： 梁之剪力圖及彎矩圖。（4 分） 斷面對中性軸之慣性矩。（5 分） 梁中之最大剪應力及其位置。（8 分） 梁中之最大彎曲壓應力及最大彎曲拉應力及其位置。（8 分） (i) (ii) 圖四 A x C 400 N 300 N B z 3 m 3 m 1 m 1 m 120 40 kN 30 kN A B C D E 300 180 y

直徑5 mm 之圓桿ST 受軸向力P 作用如下圖(a)。圓桿材料的楊氏係數為2×105 MPa， 其應力(σ)-應變(ε)曲線如下圖(b)。 圖(b)的σ-ε 曲線可透過何種試驗獲得？曲線上相應於A 點的應力在力學上的名稱 為何？（4 分） ST 可反抗的最大施力Pmax 為多少？如控制P 使其自零慢慢增加至Pmax，試述 ST 變形的過程及其最終的狀態。（10 分） 如施加適當負載將圓桿材料的應力-應變狀態帶到B 點，則圓桿中此時的應變能密 度為多少？（5 分） 如到B 點後，將負載完全撤去，則圓桿最後的伸長量為多少？（6 分） 圖(a) 圖(b)（本圖為示意圖，未按比例繪畫） S T X 斷裂點 P 1m ε σ（MPa） 0 400 A B 0.1 鋁套筒 鋼螺栓

一懸臂梁右端固定，受力狀況及其截面之形狀與尺寸如下圖所示： 試求圖中A 點處之彎曲應力及剪應力，並繪製其應力元素圖。（12 分） 試求圖中A 點處的主應力，並繪製其應力元素圖。（8 分） 0.3 m 0.9 m 120 kN/m 30 kN A A 20 mm 150 mm 20 mm 20 mm 150 mm 0.3 m 0.9 m 120 kN/m 30 kN A 0.3 m 0.9 m 120 kN/m 30 kN A A 20 mm 150 mm 20 mm 20 mm 150 mm A 20 mm 150 mm 20 mm 20 mm 150 mm P P T T

一個摩擦棘爪（friction pawl）銷接於A，並停駐於C 輪上。此棘爪可容許C 輪在逆 時針方向做自由旋轉，但是若C 輪欲在順時針方向做旋轉時，則會被該棘爪的摩擦 力所阻止。若 ，請設計一θ 值，則不論施予多大的轉矩M，都將無法使得 C 輪可以做順時針的旋轉。（15 分） 5.0 ) ( = B s μ 【注意： 本題中假設棘爪的重量可以忽略不計。】