機械工程 110 年工程力學考古題

如圖一所示的輪子承受一扭矩M 50 N m   。假設帶狀剎車（Band Brake） 和輪子邊緣（Rim）之間的動摩擦係數（Coefficient of Kinetic Friction）為0.3， 試求要讓輪子停下所必須施加在槓桿（Lever）上最小的水平力P。（25 分） 圖一

如圖一所示桁架由5 根桿件構成，桿件長度AC BC BD a    ， 90 ACB CBD    ，頂點A 及D 處分別以鉸支承（hinge support）及 滾支承（roller support）支撐桁架，頂點B 承受一鉛垂集中力F 負載。 請回答下列問題： 5 根桿件分別承受的軸力（正值表示張力，負值表示壓力）。（15 分） 已知長度為L 的簡支撐柱（simply supported column）承受壓力達臨界 值

梁ABC 受一分布負荷作用，其中AB 與BC 在B 點處用銷接合（Pin joint）方式連接，A 為鉸支撐（Hinge），C 為一滑輪（Roller），g(x)為單 位長度之分布力。試求： 分布負荷之合力及其離A 點之距離。（10 分） 梁ABC 之剪力分布圖（請標示剪力為零之位置及剪力在不連續處的 值）。（15 分）

如圖所示，一吊桿由梁AB 與桿件BC 構成，兩者於B 處銷接（pin connected），末端A 與C 固定於剛性牆之銷支撐（pin support）。梁的截 面為b（寬）× h（高）之矩形。梁AB 的中點吊掛6 kN 重物，其承受組 合荷載（combined loading）且結構自重不計。請回答下列問題：（每小題 10 分，共30 分） 繪製梁AB 的自由體圖，計算支撐點A 的反力及桿件BC 的軸力。 繪製梁AB 的剪力分布圖及彎矩分布圖，並且計算吊掛重物處的剪力 及彎矩。 梁AB 吊掛重物處截面承受的最大壓應力、最大橫向剪應力及各別位置。 B A 0.4 m 0.4 m 6 kN 0.6 m C b h x y

如圖二所示為一長度為L 之均質細長桿以一垂直速度 1 v  且無角速度撞擊 一光滑的水平面時，細長桿與鉛直方向的夾角為。若假設撞擊為塑性撞 擊（Perfectly Plastic Impact），請推導細長桿在撞擊之後的瞬間之角速度。 圖中之G 點為細長桿之質心。（25 分） 圖二 1 v   B A G

2 π CR P EI L  ，會發生挫屈（buckling）。持續增加B 點集中力F 至 何值，那一根桿件先發生挫屈？（10 分） 圖一 二、如圖二所示，一個自由旋轉機構的兩端連接兩個質量2 kg 之球體，繞著 鉛垂軸旋轉，機構的所有桿件及滑套的質量都可忽略不計，機構尺寸 0.1m a  、 0.2 m b  。當桿件間的夾角 45  時，角速度ω 60 rpm  。施 力F 向上推動滑套至 15  時，請回答下列問題： 機構的旋轉角速度是多少？（12 分） 施力F 所做的功是多少？（13 分） 圖二 A B C D F a a a a b 1.5b b ω F m m   C 90° 90°

兩根中空圓形薄管AB 和BC（長度L=100 mm）藉一塊鋼板於B 點用焊 接方式連接起來，C 點為固定端，A 點為一鋼板且為自由端。中空管AB 和BC 內的管壁厚度為t = 2 mm，管內半徑分別為r1=50 mm 和r2=60 mm， 氣壓分別為p 和2p，且受分布的扭力矩T(x)作用。令p=10 N/mm2，剪 切模數G=10 GPa，初始的分布扭力矩To=100 N-m/m，試求： A 點的扭轉角。（10 分） 用一應力元素（Stress element）來表示AB 管壁中最大的張應力和剪 切應力，並標示其與x 軸之角度。（15 分）

如圖所示，末端固定於剛性牆的兩支等長圓柱構件AB 及BC，構件連結 處B 設有法蘭（flanges），兩者中心線對準。由於安裝誤差，兩法蘭的螺 栓孔角度相差θ。組裝時施予扭轉荷載，將其對準栓接後，移除施加的 荷載。兩圓柱構件具有相同的剪力模數（shear modulus）G，面積極慣性 矩（polar moment of inertia of area）分別為3I0 及I0。試問兩圓柱構件組 裝後的殘留扭矩T 及法蘭的扭轉角（angle of twist）φ。（20 分）

如圖三所示的一承受一軸向力P 及一扭矩T 的實心圓桿，圓桿直徑為 32 mm d  。安裝於圓桿表面的兩個應變計A 及B 的讀數分別為 6 140 10 A     及 6 60 10 B     。圓桿的材料為楊氏模數（Young’s Modulus）E 210GPa  及波松比（Poisson’s Ratio） 0.29 v  的鋼。試求： 軸向力P 及扭矩T。（15 分） 圓桿之最大剪應變（Maximum Shear Strain ）及最大剪應力 （Maximum Shear Stress）。（10 分） 圖三

如圖三所示，一根長度為L 的均質梁AB，A 端固定支承於剛性牆面，B 端固接於一個剛性滑座，僅能平行另一剛性牆面上下平移。梁的撓曲剛 度（flexural rigidity）為EI，滑座承受集中力P 負載。已知圖三(A)及圖 三(B)之懸臂梁撓度曲線公式，請回答下列問題： 剛性牆面A、B 提供的反力及反力矩 B M 、 A R 、 A M 。（15 分） 繪製梁AB 的剪力分布圖及彎矩分布圖。（10 分） 圖三 2 ( ) (3 ), 0 6 Px v x L x x L EI     2 0 ( ) , 0 2 M v x x x L EI   

一平面半圓形剛體由三根連桿支撐著，半圓形剛體的質量為10 kg，連桿 質量可忽略不計，連桿長度ℓ= 120 mm，半圓形剛體的半徑r =200 mm。 當連桿CD 突然斷裂時，試求在這分離的時刻： 半圓形剛體的瞬時加速度及作用方向。（10 分） 連桿AH 和BG 所產生的內力。（15 分）

如圖所示，一個正三角鐵平面與鉛垂面平行，頂點A 懸掛於天花板上的 銷支撐（pin support）。三角鐵總質量為m，邊長為L，頂點A 與質心G 之連線的水平傾角為θ。將正三角鐵於 30  處由靜止下釋放，繞頂點 A 旋轉。重力加速度以符號g 表示。請回答下列問題： 正三角鐵相對A 點的轉動慣量（moment of inertia of mass）值。 （10 分） 當 90  時，銷支撐A 施予三角鐵的水平力及鉛垂力是多少？ （15 分）  0 3I 0I A B C L L A B C  G L L L B θ

如圖四所示之簡支樑的斷面為一實心圓柱。若圓柱可容許的彎曲應力為 167MPa 且可容許的剪應力為97MPa 。 畫出樑之剪力圖及彎矩圖。（5 分） 試求樑可安全承載時的最小圓柱直徑。（20 分） 圖四

如圖四所示，一個半徑為R，質量為m 的薄壁圓管，內接一個質量為m 的薄壁方管，受重力作用，從傾角為θ 的斜坡滾下而不滑動，重力加速 度以符號g 表示。請回答下列問題： 圓管與方管的質量轉動慣量（mass moment of inertia） G I 。（5 分） 圓管與方管的角加速度α。（10 分） 圓管表面與斜坡之間的最小靜摩擦係數。（10 分） 圖四 圖三(A) ( ) v x x L P 圖三(B) ( ) v x x L 0 M ( ) v x x A L P B B M A M A R m m  G R

軸環B 在連桿OA 上可自由滑行。連桿的轉角設為θ=0.2t2（radian），軸 環與原點之距離為r = 1-0.1t2(m)，t 為時間（秒）。用單位向量eθ 和er 來 作運算。若軸環的位置向量為R = rer，試求： 推導軸環加速度的計算公式。（10 分） 連桿轉了45°時，軸環相對於連桿的相對加速度及方向。（15 分）

如圖所示，一個均質半圓柱靜置於水平地面，質量為m，半徑為r。已知 半圓柱的質心G 與圓心O 距離 4 (3π) y r  ，相對圓心O 的轉動慣量 （moment of inertia of mass）為 2 2 OI mr  ，重力加速度以符號g 表示。 施一傾斜力P 於B 點，使半圓柱開始轉動而不滑動（roll without sliding）。 請回答下列問題： 繪製半圓柱於初始瞬間的自由體圖及動力圖（kinetic diagram）。 （5 分） 半圓柱於初始瞬間的角加速度α？（10 分） 半圓柱與地面至少需要的最大靜摩擦係數？（10 分） O A B y C G P o 60 r